Esame di maturità 2013: Problema 1.2 Scientifico 2013

La funzione $f$ è definita da $f(x)=\int_0^x [ cos(\frac t2 + \frac 12) ] dt$ per tutti i numeri reali $x$ appartenenti
all’intervallo chiuso [0, 9].

Si tracci, in un sistema di coordinate cartesiane, il grafico Σ di $f '(x)$ e da esso si deduca per quale o quali valori di $x$ , $f (x)$ presenta massimi o minimi. Si tracci altresì l’andamento di $f (x)$ deducendolo da quello di $f '(x)$ .

Considerando la funzione

$y=cos(\frac 12x) + \frac 12$

ci accorgiamo subito che ci apprestiamo a costruire il grafico della funzione coseno con una dilatazione dovuta al coefficiente della x e una traslazione dovuta al termine noto.

GRAFICO

Per definizione sappiamo che i massimi per $f(x)$ li otteniamo quando il segno della derivata diventa negativo e viceversa per i punti di minimo.

Quindi notiamo che, nel grafico appena disegnato, i punti di intersezione di questo stesso grafico con l’asse delle ascisse rappresentano proprio i valori per i quali avremo dei massimi o dei minimi nella funzione iniziale.

Studiamo quindi quando $f'(x)=0$ :

$cos(\frac x2)+\frac 12 =0$

$cos(\frac x2)=-\frac 12$

$\frac x2 = arccos (-\frac 12)$

$\frac {x_1}{2}= \frac 23 \pi \quad \lor \quad \frac {x_2}{2}= \frac 43 \pi$

$x_1= \frac 43 \pi \quad \lor \quad x_2= \frac 83 \pi$

Essendo l’intervallo compreso tra 0 e 9, escludiamo subito tutte le soluzioni negative, e non possiamo prenderei in considerazione neanche soluzioni successive a queste perchè maggiori di 9.

Quindi, dal grafico di $f'(x)$ , si deduce che la funzione $f(x)$ in [0,9] ammette: