Problema 2.1 Scientifico 2013

Sia $f$ la funzione definita, per tutti gli $x$ reali, da $f(x )=\frac {8}{4+x^2}$ .

Si studi $f$ e se ne disegni il grafico $\Phi$ in un sistema di coordinate cartesiane $Oxy$ . Si scrivano le equazioni delle tangenti a $\Phi$ nei punti $P$ (- 2; 1) e $Q$ (2; 1) e si consideri il quadrilatero convesso che esse individuano con le rette $OP$ e $OQ$ . Si provi che tale quadrilatero è un rombo e si determinino le misure, in gradi e primi sessagesimali, dei suoi angoli.

Studiamo la funzione.

La funzione è algebrica razionale fratta.

Notiamo subito che il dominio coincide con l’insieme dei numeri reali in quanto il denominatore

$4+x^2=0 \not \forall x \in R$ ,

anzi, addirittura sarà sempre positivo.

Quindi avremo:

$D=R$ .

E’ una funzione pari in quanto:

$f(x)=\frac {8}{4+x^2}=\frac {8}{4+(-x)^2}=f(-x)$ .

Non avrà intersezione con l’asse delle ascisse perchè il denominatore non si annulla mai, mentre invece interseca l’asse delle ordinate nel punto $(0;2)$ .

Come già detto, la funzione sarà sempre positiva perchè il numeratore è un numero, e il denominatore è la somma di due quadrati, quindi sempre strettamente positivo.

Studiamo i limiti agli estremi del dominio:

$\lim_{x \to \pm \infty} f(x)=0^+$ .

La funzione quindi avrà l’asse delle ascisse come asintoto orizzontale.

Studiamo la derivata prima:

$f'(x)=\frac {-16x}{(4+x^2)^2}$ .

Avremo quindi che $f'(x) >0 \LeftRightarrow x<0$ , ovvero $f(x)$ è crescente per $x<0$ e decrescente quando $x>0$ .

In $x=0$ avremo quindi punto di massimo $(0;2)$ , che è poi l’intersezione che avevamo già trovato.

Calcoliamo la derivata seconda:

$f''(x)=\frac {-16(4+x^2)^2+16x(2(4+x^2)2x)}{(4+x^2)^4}=16\frac {4x^2-4-x^2}{(4+x^2)^3}=16\frac {3x^2-4}{(4+x^2)^3}$ .

Quindi avremo che la derivata seconda si annulla per:

$3x^2-4=0 \LeftRightarrow x=\pm \sqrt {\frac 43}=\pm 2 \frac {\sqrt 3}{3}$ .

Quindi avremo che $f''(x)>0$ , ovvero $f(x)$ è convessa quando $x<-2 \frac {\sqrt 3}{3} \quad \lor \quad x > 2 \frac {\sqrt 3}{3}$ , e $f''(x)<0$ , ovvero $f(x)$ è concava quando $-2 \frac {\sqrt 3}{3}<x<2 \frac {\sqrt 3}{3}$ .

Di conseguenza $f(x)$ ammette flessi in $x= \pm 2 \frac {\sqrt 3}{3}$ .

Passiamo ora alla seconda parte del problema:

per trovare le rette tangenti a $f(x)$ nei punti richiesti, calcoliamo anzitutto le loro pendenze, ovvero $f'(2)$ e $f'(-2)$ .

Sappiamo che

$f'(2)$ è opposta a $f'(-2)$ , dato che $f(x)$ è pari e quindi $f(-x)$ sarà dispari. Dunque:

$f'(2)=-16\frac {2}{(4+2^2)^2}=-\frac {32}{64}=-\frac 12$ ;

la tangente in Q è $y=\frac 12(x+2)+1=\frac 12 x+2 :r_1$ .

Di conseguenza la retta tangente in P sarà: $y=-\frac 12x+2:r_2$ .

Per dimostrare che il quadrilatero convesso che $r_1$ e $r_2$ individuano con le rette $OP$ e $OQ$ è un rombo, scrivo le equazioni delle rette $OP$ e $OQ$ :

$y=\frac 12x:r_3 \quad \quad \quad y=-\frac 12x:r_4$

Osservo che $r_1$ è parallela a $r_3$ e $r_2$ è parallela a $r_4$ perchè hanno gli stessi coefficienti angolari, ed anche che $x=0$ e $y=1$ sono le due diagonali del quadrilatero e sono perpendicolari; dunque, la figura è un parallelogramma con le diagonali perpendicolarei, ovvero un Rombo!!!.