Quesito 8 P.N.I. 2013

Si mostri, senza utilizzare il teorema di l’Hopital, che

$\lim_{x \to \pi } \frac {e^{senx}-e^{sen(\pi)}}{x-\pi}=-1$

$\lim_{x \to \pi } \frac {e^{senx}-e^{sen(\pi)}}{x-\pi}=\lim_{x \to \pi } \frac {e^{senx}-1}{x-\pi}.$

Imponiamo la condizione:

$x- \pi=t$

$x=t+\pi$

Avremo quindi:

$\lim_{t \to 0 } \frac {e^{sen(t+\pi)}-1}{t}=\lim_{t \to 0 } \frac {e^{sen(-t)}-1}{t}=$

$\lim_{t \to 0 } \frac {e^{\frac {sen(-t)}{-t}(-t)}-1}{t}=\lim_{t \to 0 } \frac {e^{-t}-1}{t}=$

$\lim_{t \to 0 } \frac {e^{-t}-1}{t}=-1$

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