Quesito 4 Scientifico 2013

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Di un tronco di piramide retta a base quadrata si conoscono l’altezza h e i lati a e b delle due basi. Si esprima il volume V del tronco in funzione di a, b e h, illustrando il ragionamento seguito.

 

Spezziamo il tronco di piramide in un parallelepipedo, quattro semiparallelepipedi e quattro piramidi a base quadrata.

 

Così facendo, otteniamo:

    \[V_{pi}=\frac {(\frac {b-a}{2})^2 \cdot h}{3}\]

    \[V_{pa}=a^2 \cdot h\]

    \[V_{\frac 12 pa}=\frac {a \cdot (\frac {b-a}{2}) \cdot h}{2}\]

.

 

Quindi:

    \[V_{TOT}=4V_{pi}+V_{pa}+4V_{\frac 12 pa}\]

    \[V_{TOT}=\frac 43 \frac {(b-a)^2h}{4}+a^2 \cdot h + \frac 42 \frac {ah(b-a)}{2}\]

    \[V_{TOT}=h\big (\frac {b^2+a^2-2ab}{3}+a^2-a^2+ab\big )=\frac h3(b^2+a^2-2ab+3ab)=\frac {h}{3}(a^2+b^2+ab)\]

.

 

 

 

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