Problema 1.2 Scientifico 2014

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Nella figura a lato è disegnato il grafico \Gamma di g(x)=\int_0^x f(t) \, \, dt con f funzione definita sull’intervallo [0,w] e ivi continua e derivabile. \Gamma è tangente all’asse x nell’origine O del sistema di riferimento e presenta un flesso e un massimo rispettivamente per x=h e x=k.

graficoproblemascientifico2014

2) Si supponga, anche nei punti successivi 3 e 4, che g(x) sia, sull’intervallo considerato, esprimibile come funzione polinomiale di terzo grado. Si provi che, in tal caso, i numeri h e k dividono l’intervallo [0,w] in tre parti uguali.

Risposta dello staff

Dalla richiesta avremo che:

g(x)=ax^3+bx^2+cx+d,

con a,b,c e d numeri reali.

Ma sappiamo che w è uno 0 della funzione, ed anche 0, questo addirittura doppio in quanto abbiamo visto nel primo esercizio che g'(0)=0.

Di conseguenza g(x) si semplifica in questo modo:

g(x)=ax^2(x-w) \quad \quad a \in \mathbb{R}.

Calcoliamo quindi la derivata di questa funzione:

g'(x)=f(x)=2ax(x-w)+ax^2=ax(3x-2w)

Dal punto 1 sappiamo che

f(0)=f(k)=0, e quindi ricaviamo:

f(k)=3k-2w=0

da cui

k=\frac 23 w.

Essendo f una parabola, i cui due punti di intersezione con l’asse delle x sono 0 e k, e che ammetterà punto di massimo per x=h, se ne deduce che h sarà il punto medio tra 0 e k, e quindi

h=\frac 13 w.

In questo modo, h e k dividono l’intervallo in tre parti uguali.

 

 

 

 

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