Problema 2.2 P.N.I. 2014

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Sia f(x)=(2-x) \sqrt{4x-x^2}

Si dimostri che, qualunque sia t, 0 < t< 2, le rette tangenti a \Gamma nei suoi punti di ascisse 2 -t e 2 +t sono parallele. Esistono rette tangenti a \Gamma che siano parallele alla retta  21x +10y + 31 = 0? E che siano parallele alla retta 23x+12y + 35= 0?

 


Risposta dello staff

Essendo f'(x)=\frac {2x^2-8x+4}{\sqrt{4x-x^2}}, si ha:

  •     \[f'(2+t)=\frac {2(2+t)^2-8(2+t)+4}{\sqrt{4(2+t)-(2+t)^2}}=\frac {2t^2-4}{\sqrt{4-t^2}}\]

  •     \[f'(2-t)=\frac {2(2-t)^2-8(2-t)+4}{\sqrt{4(2-t)-(2-t)^2}}=\frac {2t^2-4}{\sqrt{4-t^2}}\]

Dato che f'(2+t)=f'(2-t), le rette tangenti a \Gamma in x=2+t e x=2-t risultano parallele.

La traccia ci chiede se esistano rette paralele a \Gamma con coefficiente angolare m_1=-\frac {21}{10} e m_2=-\frac {23}{12}.

Dal grafico di \Gamma si nota subito che la funzione è concava per 0<x<2 e convessa per 2<x<4, e quindi, la derivata prima è decrescente per 0<x<2 e crescente per 2<x<4.

Da qui, sapendo che in x=2 la derivata prima presenta minimo f(2)=-2, avremo quindi che f'(x)\geq -2.

Di conseguenza, m_1=f'(x)=-\frac {21}{10}=-2,1 nn sarà accettabile, mentre invece m_2=-\frac {23}{12}=1,92 sarà accettabile ed addirittura ammetterà due soluzioni reali distinte, ovvero esisteranno due rette tangenti a \Gamma e parallele a 23x+12y+35=0

 

 

 

 

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