Quesito 6 P.N.I. 2014

Si calcolino l’altezza e il raggio del massimo cilindro circolare retto inscritto in una sfera di raggio $\sqrt 3$ .

Supponendo che il cilindro abbia altezza h e raggio di base r. Si ha:

$r^2=3-\frac {h^2}{4}$

per il teorema di Pitagora, applicato al triangolo.

A questo punto, il volume del cilindro sarà facile da calcolare in quanto:

$V=\pi r^2h=\pi\left(3-\frac {h^2}{4}\right)h$

Calcoliamo la derivata e otteniamo:

$V'=\pi\left(3-\frac {h^2}{4}\right)-\pi\frac {h^2}{2}=3\pi\left(1-\frac 14 h^2\right)$

Ponendo la derivata prima uguale a 0 per ricavare il massimo, otteniamo:

$V'=0 \iff 3\pi\left(1-\frac 14 h^2\right)=0$

$h^2=4 \iff h= \pm2$

Ovviamente essendo l’altezza una misura, questa non può essere negativa e quindi:

$h=2$

$r=\sqrt 2$

Altri esercizi simili

(Questa pagina è stata visualizzata da 23 persone)

Matebook