Problema 2.2 P.N.I. 2013

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Sia f la funzione definita per tutti gli x positivi da f (x) = x^3 ln x.

 

 

  • Sia P il punto in cui \gamma interseca l’asse x. Si trovi l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse y , passante per l’origine e tangente a \gamma in P.

 

Si tratta di trovare a,b,c dell’equazione generale della parabola g(x)=ax^2+bx+c:

  • impongo il passaggio per O(0;0) così da ottenere c=0
  • impongo il passaggio per P(1;0) così da ottenere a=-b
  • impongo la tangenza in P alla parabola ottenuta g(x)=ax^2-ax, ovvero impongo f'(1)=g'(1). Sostituendo ottengo f'(1)=1 e poichè g'(x)=2ax-a, otterrò 1=2a-a, da cui a=1.

Dunque la parabola cercata è y=x^2-x.

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