Luca scrive: Problema con equazioni di secondo grado

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Oggetto: Problema con equazioni di secondo grado

Corpo del messaggio:
Un trapezio rettangolo ABCD è circoscritto ad una semicirconferenza di diametro AD=24cm. Il punto P di tangenza divide il lato obliquo CB in due parti CP e PB tali che CP+1/2PB = 17cm. Trova l’area del trapezio.

Svolgimento

Vista la richiesta del problema, notiamo subito che il diametro coinciderà con l’altezza del trapezio rettangolo AD.

Poniamo

CP=x

quindi:

PB=34 -2x\mbox { cm}.

Per definizione di segmenti di tangenza, sapremo che:

AB=BP

CP=CD

Quindi in pratica abbiamo tutti i dati per la risoluzione del problema.

Tracciando CH, altezza del trapezio, avremo il triangolo CHB rettangolo in H.

Di questo triangolo abbiamo tutto:

CH=24 \mbox{ cm}

CB=CP+PB= 34-x \mbox { cm}

HB=AB-CD=34-3x \mbox { cm}

Usiamo Pitagora per trovare l’incognita:

CB^2=CH^2+BH^2

(34-x)^2=24^2+(34-3x)^2

x^2-68x+1156=576+9x^2-204x+1156

-8x^2+136x-576=0

8x^2-136x+576=0

x^2-17x+72=0

x_{\frac 12}= \frac {17 \pm \sqrt {289-288}}{2}=\frac {17 \pm \sqrt {1}}{2}=\frac {17 \pm 1}{2}

x_1=8

x_2=9

Le soluzioni sembrerebbero entrambe accettabili e quindi avremo:

  • caso 1:

AB= 18 \mbox{ cm}

BC=26 \mbox{ cm}

CD= 8\mbox{ cm}

AD=24 \mbox{ cm}.

A= \frac {(8+18)\cdot 24}{2} \mbox{ cm}^2=26 \cdot 12 \mbox{ cm}^2=312 \mbox{ cm}^2

 

  • caso 2:

AB= 16 \mbox{ cm}

BC=25 \mbox{ cm}

CD= 9\mbox{ cm}

AD=24 \mbox{ cm}.

A= \frac {(9+16)\cdot 24}{2} \mbox{ cm}^2=25 \cdot 12 \mbox{ cm}^2=300 \mbox{ cm}^2

 

 

 

 

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