Nicolò scrive: Esercizio rettangolo inscritto in una circonferenza

Uno studente scrive:

Oggetto: Problema con equazioni di secondo grado

Corpo del messaggio:
Un rettangolo è inscritto in una circonferenza di raggio 12cm ed il suoperimetro è di 336/5 cm . Determina i lati del rettangolo.

Risposta dello staff

Per definizione, quando si inscrive un rettangolo in una circonferenza, le diagonali del rettangolo passeranno proprio per il centro della circonferenza e quindi, queste sono esattamente il diametro della circonferenza. Sia $d$ la diagonale, avremo:

$d= 24 \mbox { cm}$

Sfruttando anche il fatto che, chiamando $a$ e $b$ i due lati del rettangolo, la loro somma equivale al semiperimetro, otteniamo subito:

$a+b= \frac {\frac {336}{5}}{2} \mbox { cm}=\frac {168}{5} \mbox { cm}$ .

$a= \frac {168}{5} \mbox { cm} -b$ .

Troviamo l’incognita con il teorema di pitagora:

$a^2+b^2=d^2$

$( \frac {168}{5} \mbox { cm} -b)^2 +b^2=24^2$

$\frac {28224}{25} - \frac {336}{5}b +b^2+b^2-576=0$

$2b^2-\frac {336}{5}b+\frac {13824}{25}=0$

$b^2-\frac {168}{5}b+\frac {6912}{25}=0$

$25b^2-840b+6912=0$

$b_{\frac 12}= \frac {840 \pm \sqrt {705600-691200}}{50}=\frac {840 \pm \sqrt {14400}}{50}=\frac {840 \pm 120}{50}$

$b_1= \frac {72}{5}$

$b_2=\frac {96}{5}$

Sono entrambe soluzioni accettabili perchè queste rappresentano proprio le due misure dei due lati, in quanto vista la casualità iniziale della scelta, questa non preclude di poter scegliere uno dei due lati…

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Nicolò scrive: Esercizio rettangolo inscritto in una circonferenza

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