Nicola scrive: Esercizi di geometria analitica

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Oggetto: Esercizi di geometria analitica

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Risposta dello staff

1)

Essendo un quadrilatero, possiamo dividere questo in 2 triangoli tracciando una diagonale e di conseguenza poi calcolare, tramite la formula di Erone, le due aree e poi sommarle.

AB=\sqrt {(2-6)^2+(0+1)^2}=\sqrt {17}

BC=\sqrt {(6-5)^2+(-1-3)^2}=\sqrt {17}

AC=\sqrt {(2-5)^2+(0-3)^2}=3\sqrt {2}

AD=\sqrt {(2-3)^2+(0-4)^2}=\sqrt {17}

CD=\sqrt {(5-3)^2+(3-4)^2}=\sqrt {5}

Calcoliamo il perimetro dei triangoli:

2p_{ABC}=AB+AC+BC=\sqrt {17}+\sqrt {17}+3\sqrt 2=2\sqrt {17}+3\sqrt 2

p_{ABC}=\sqrt {17}+\frac 32\sqrt 2

2p_{ADC}=AD+AC+DC=\sqrt {17}+3\sqrt 2+\sqrt 5

p_{ADC}=\frac 12(sqrt {17}+3\sqrt 2+\sqrt 5)

Con la formula di Erone calcolo le aree:

A_{ABC}=\sqrt {p \cdot (p-AB) \cdot (p-AC) \cdot (p-BC)}

A_{ABC}=\sqrt {(\sqrt{17}+\frac 32\sqrt 2) \cdot (\frac 32 \sqrt 2) \cdot (\sqrt {17}-\frac 32 \sqrt 2) \cdot (\frac 32 \sqrt 2)}=\sqrt {(17-\frac 92) \cdot \frac 92}

A_{ABC}=\sqrt {\frac {25}{2} \frac 92}=\frac {15}{2}

A_{ADC}=\sqrt {p \cdot (p-AD) \cdot (p-AC) \cdot (p-DC)}

A_{ADC}=\sqrt {\frac 12(\sqrt {17}+3\sqrt 2+\sqrt 5) \cdot \frac 12(-\sqrt {17}+3\sqrt 2+\sqrt 5) \cdot \frac 12(\sqrt {17}-3\sqrt 2+\sqrt 5) \cdot \frac 12(\sqrt {17}+3\sqrt 2-\sqrt 5)}

A_{ADC}=\frac {9}{2}

Nella seconda area ho evitato di fare tutti i calcoli, ma sono comunque abbastanza semplici.

L’area totale è data dalla somma delle due aree e quindi:

A_{ABCD}= \frac {15}{2}+\frac 92 = 12

 

 

2)

x_P=\frac 58 x_A +\frac 38 x_B

x_P=-\frac {5}{4} +\frac {21}{4}=4

y_P=\frac 58 y_A +\frac 38 y_B

y_P=\frac {45}{8} +\frac {3}{8}=6

P(4;6)

x_Q=\frac 38 x_A +\frac 58 x_B

x_Q=-\frac {3}{4} +\frac {35}{4}=8

y_Q=\frac 38 y_A +\frac 58 y_B

y_Q=\frac {27}{8} +\frac {5}{8}=4

Q(8;4)

3)

x_P=\frac 23 x_A +\frac 13 x_B

x_P=\frac {8}{3} -\frac {2}{3}=2

y_P=\frac 23 y_A +\frac 13 y_B

y_P=\frac {8}{3} -\frac {5}{3}=1

P(2;1)

x_Q=\frac 13 x_A +\frac 23 x_B

x_Q=\frac {4}{3} -\frac {4}{3}=0

y_Q=\frac 13 y_A +\frac 23 y_B

y_Q=\frac {4}{3} -\frac {10}{3}=-2

Q(0;-2)

4) Sappiamo che la mediana viene divisa dal baricentro in 2 parti proporzionali ai numeri 1 e 2.

Di conseguenza avremo:

x_G=\frac 13 x_A +\frac 23 x_M

x_G=\frac {6}{3} +\frac {2}{3}=\frac 83

y_G=\frac 13 y_A +\frac 23 y_M

y_G=\frac {1}{3} +0=\frac 13

G(\frac 83;\frac 13)

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2 pensieri riguardo “Nicola scrive: Esercizi di geometria analitica”

    1. Il principio è lo stesso che si usa per calcolare le coordinate del punto medio.
      Cerco di spiegarlo in maniera semplice:
      nel punto medio, sai che un segmento viene diviso in parti proporzionali a 1 e 1, quindi vuol dire che dividi ogni coordinata per la somma dei fattori di proporzione, in questo caso 2, e la moltiplichi per la proporzione dell’altro segmento.
      Di conseguenza, nell’esercizio 2, dove vengono divisi in proporzione sia a 5 e 3 che a 3 e 5; vuol dire che divideremo ogni coordinata per 8 (5+3) e la moltiplicheremo per la proporzione del secondo segmento (3 o 5 nel primo caso, 5 o 3 nel secondo).
      Stesso discorso per il numero 4.

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