Leandro scrive: Esercizi circonferenza

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Oggetto: Circonferenza

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Risposta dello staff

1) Senza fare grossi calcoli basterà notare che, il diametro della più piccola circonferenza apparterrà alla retta passante per i due centri.

C_1(0;0)

C_2(1;2)

Facendo il disegno e tracciando la linea individuiamo tre segmenti:

  • il primo sarebbe il raggio della circonferenza più piccola, di lunghezza 1.
  • il secondo è il segmento che congiunge i 2 centri, di lunghezza \sqrt 5.
  • il terzo è il raggio della circonferenza più grande, di lunghezza 2.

Quindi, il diametro della circonferenza sarebbe:

d=1+\sqrt 5+2=3+\sqrt 5.

Il raggio si ottiene dividendo per 2.

 

 

2) per ricavare la retta t, troviamo i centri dei due fasci:

3hx-x+2hy-6=0

x+6-h(3x+2y)=0

C_1(-6;9)

hx+hy-y-h=0

h(x+y-1)-y=0

C_2(1;0)

Ricaviamo la retta passante per i due punti C_1 e C_2:

\frac {y-9}{0-9}=\frac{x+6}{1+6}

7y-63=-9x-54

9x+7y-9=0

Per ricavare l’area del triangolo troviamo i due punti di intersezione della retta con gli assi coordinati:

P_1(0;\frac 97)

P_2(1;0)

A=\frac {1 \cdot \frac 97 }{2}=\frac {9}{14}

Per definizione, in un triangolo rettangolo ortocentro, circocentro e baricentro sono allineati, ma verifichiamo con i calcoli. Per verificare che i tre punti siano allineati, calcoliamo le coordinate:

L’ortocentro sarà ovviamente l’origine, in quanto punto di intersezione delle altezze.

Il baricentro lo calcoliamo:

G=\left(\frac {0+0+1}{3};\frac {0+\frac 97+0}{3}\right)=(\frac 13;\frac 37)

La retta che passa per O e G sarà:

y=mx

\frac 37=\frac 13m

m=\frac 97

Il circocentro, essendo l’intersezione degli assi, lo possiamo calcolare tracciando le perpendicolare ai due cateti del triangolo rettangolo nei loro punti medi.

Le due rette saranno:

x=\frac 12 e y=\frac {9}{14}

Quindi: C\left(\frac12;\frac {9}{14}\right)

Vediamo se verifica le condizioni di passaggio:

y=\frac 97x

\frac {9}{14}=\frac 97 \frac 12=\frac {9}{14}

come volevasi dimostrare.

 

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