Vanessa scrive: Esercizio sulle funzioni

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Oggetto: Esercizio sulle funzioni

Corpo del messaggio:
Una ditta di spedizioni ha un volume di affari che produce un ricavo giornaliero dato dalla funzione

y=x(20-x)^2-10000

dove  x indica il numero di pacchi spediti giornalmente.

Quanti pacchi devono essere spediti giornalmente per ottenere il massimo ricavo? A quanto ammonta il guadagno giornaliero?

 

Risposta dello staff

 

La funzione ci indica i ricavi, quindi, facendo la derivata di questa funzione, possiamo calcolare direttamente quale potrebbe essere il massimo e/o il minimo:

y=x(400-40x+x^2)-10000

y=x^3-40x^2+400x-10000

Studiamo la derivata prima:

y'=3x^2-80x+400

Studiando la positività di questa, ricaveremo il valore massimo:

3x^2-80x+400 \geq0

x_{\frac 12}=\frac {80 \pm \sqrt{6400-4800}}{6}=\frac {80 \pm \sqrt{1600}}{6}=\frac {80 \pm 40}{6}

x_1=\frac{20}{3}

x_2=20

 

Succede che, per 0<x<\frac{20}{3}, la funzione è crescente, e quindi, da 0 a 7 pacchi le perdite diminuiranno.

 

Per \frac{20}{3}<x<20 la funzione è decrescente e quindi si arriverà ad avere per x=20 di nuovo -10000, minimo.

 

A quel punto, da li in poi è crescente, ma cresce all’infinito…

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