Erica scrive: Problema di geometria su trapezio

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Oggetto: risolvere un problema

Corpo del messaggio:
in un trapezio isoscele ABCD avente il perimetro di 62 cm e la diagonale Db è perpendicolare al lato obliquo BC. determina l area sapendo che la somma delle due basi è 32cm.

trapezio isoscele con diagonali (1)

 

 Risposta dello staff

Sapendo il perimetro e la somma delle basi, ricaviamo subito la lunghezza del lato obliquo:

AD=BC=\frac 12 (62-32) \mbox{ cm}=15 \mbox{ cm}

Sapendo che ADC è rettangolo, utilizziamo il teorema di Euclide, ponendo DH=x, HM=y per cui:

\begin{cases} AD^2=DH \cdot DC \\ 2x+2y=32 \end{cases}

\begin{cases} 225=x \cdot (2x+y) \\ x+y=16 \end{cases}

\begin{cases} 225=x \cdot (2x+16-x) \\ y=16-x \end{cases}

\begin{cases} x^2+16x-225=0 \\ y=16-x \end{cases}

\begin{cases} x_{\frac 12}=\frac{-16 \pm \sqrt{256+900}}{2}\\ y=16-x \end{cases}

\begin{cases} x_{\frac 12}=\frac{-16 \pm 34}{2}\\ y=16-x \end{cases}

\begin{cases} x=9\\ y=7 \end{cases}

Quindi avremo che:

AB=9\mbox{ cm}

CD=23\mbox{ cm}

Ricaviamo AH con il secondo teorema di Euclide:

AH=\sqrt{DH \cdot HC}=\sqrt{7 \cdot 16}\mbox{ cm}=4\sqrt{7}\mbox{ cm}

Calcoliamo l’area quindi:

A=\frac{32 \cdot 4\sqrt 7}{2}\mbox{ cm}^2=64\sqrt 7\mbox{ cm}^2

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