Esercizio 14 Equazioni parametriche

Traccia

Data l’equazione $(2m-1)x^2+(2m-1)x-m+5=0$ , determinare i valori di $m$ per cui si hanno soluzioni tali che il loro prodotto sia maggiore di $-\frac 25$ .

Svolgimento

$(2m-1)x^2+(2m-1)x-m+5=0$

Per capire per quali valori di $m$ l’equazione avrà soluzioni reali, basterà semplicemente studiare la positività del $\Delta$ .

$a=2m-1$

$b=2m-1$

$c=5-m$

$\Delta=(2m-1)^2-4(2m-1)(5-m)$

$\Delta=4m^2-4m+1-40m+8m^2+20-4m$

$\Delta=12m^2-48m+21$

Imponiamo ora che $\Delta \geq 0$ e avremo:

$12m^2-48m+21 \geq 0$

$4m^2-16m+7 \geq 0$

L’equazione associata ammetterà come soluzioni,

$m_1= \frac 12 \quad \wedge \quad m_2=\frac 72$

il che implica che, andando a vedere la tabella delle disequazioni, il risultato sarà:

$m \leq \frac 12 \quad \lor \quad m \geq \frac 72$ .

Affinchè le due radici siano discordi deve accadere che:

$\frac ca > -\frac 25$

$\frac {5-m}{2m-1} >-\frac 25$

$\frac {5-m}{2m-1} +\frac 25 >0$

$\frac {25-5m+4m-2}{5(2m-1)} >0$

$\frac {-m+23}{5(2m-1)} >0$

$N\geq 0 \Rightarrow m \leq 23$
$D>0 \Rightarrow m >1$

Senza bisogno di fare il grafico, possiamo direttamente dire che la disequazione sarà verificata per valori interni alle radici, ovvero:

$1<m \leq 23$

Intersecando questa con la possibilità di avere radici reale avremo la soluzione:

$\frac 72 \leq m\leq 23$

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Un pensiero riguardo “Esercizio 14 Equazioni parametriche”

Ilaria ha detto:

5 Gennaio 2019 alle 17:54

Nell’ultima parte dell’esercizio il valore del numeratore non è m>1 ma m>1/2

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