Esercizio 8 Problemi sui teoremi di Euclide

Traccia

In un triangolo rettangolo il cateto maggiore è 120 cm, la sua proiezione sull’ipotenusa è i 16/25 della stessa ipotenusa. Determinare perimetro e area del triangolo.

Svolgimento

Evito di fare figure geometriche in modo da rendere più leggera l’esercizio.

Ipotizziamo il triangolo sia retto in A, e sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa BC.

Ponendo $BC=x$ , avremo:

$AC=120 \mbox { cm}$

$CH= \frac {16}{25} x$

$BH=\frac {9}{25}x$

Dal primo teorema di Euclide possiamo trovare il valore dell’incognita:

$AC^2=CB \cdot CH$

$14400 \mbox { cm}^2=x \cdot \frac{16}{25}x$

$\frac {16}{25}x^2=14400 \mbox { cm}^2$

$x=150 \mbox { cm}$

Quindi avremo che:

$BH= 45 \mbox { cm}$ .

Troviamo BC col primo teorema di Euclide:

$BC^2= BH \cdot AB$

$BC^2=(54 \cdot 150) \mbox { cm}^2$

$BC=90\mbox { cm}$ .

Calcoliamo perimetro e area:

$2p=(90+120+150) \mbox { cm} = 360 \mbox { cm}$

$A= \frac {AC \cdot CB}{2}=\frac {120 \cdot 90 }{2}\mbox { cm}^2=5400 \mbox { cm}^2$

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