Esercizio 12 Problemi sui teoremi di Euclide

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Traccia

In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è di 20 cm e l’altezza a essa relativa di 9,6 cm. Determinare le lunghezze dei cateti.

 

Svolgimento

Evito di fare figure geometriche in modo da rendere più leggera l’esercizio. Supponiamo il triangolo sia retto in A, e quindi sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa BC.

Poniamo BH=x, così avremo:

BC=20 \mbox { cm}

AH= 9,6 \mbox { cm}

BH=x

CH=20-x

Ora, sfruttando il secondo teorema di Euclide, ricaviamo subito il valore dell’incognita:

BH \cdot CH= AH^2

x(20-x)=92,16

20x-x^2-92,16=0

x^2-20x+92,16=0

Risolviamo l’equazione di secondo grado:

x_{\frac 12}=\frac {20 \pm \sqrt {400-368,64}}{2}=\frac {20 \pm \sqrt {31,36}}{2}=\frac {20 \pm 5,6}{2}

x_1= 7,2 \mbox { cm}

x_2= 12,8 \mbox { cm}.

Ovviamente le soluzioni sono ambedue valide, nel senso che le due radici rappresentano proprio i valori delle due proiezioni. Supponiamo quindi:

BH=7,2 \mbox { cm}

CH= 12,8 \mbox { cm}.

Con il primo teorema di Euclide ricaviamo i valori dei cateti:

AC^2=CH \cdot BC

AC^2= (12,8 \cdot 20) \mbox { cm}^2

AC^2= 256 \mbox { cm}^2

AC= 16 \mbox { cm}

AB^2=BH \cdot BC

AB^2= (7,2 \cdot 20) \mbox { cm}^2

AB^2= 144 \mbox { cm}^2

AB= 12 \mbox { cm}

 

 

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