Esercizio 13 Problemi di geometria

Traccia

Il quadrilatero $ABCD$ ha la diagonale maggiore $AC$ perpendicolarae alla diagonale minore $BD$ nel suo punto medio $M$ . Determinare le lunghezze delle diagonali sapendo che la loro somma è 49 m e che la differenza tra i $\frac 75$ della maggiore e i $\frac 38$ della minore è 26 m. Sapendo inoltre che $AM=\frac {9}{16}CM$ , determinare le lunghezze dei lati del quadrilatero e verificare che gli angoli in $B$ e in $D$ sono retti. Dopo aver dimostrato che il quadrilatero è circoscrivibile a una circonferenza, determinare il raggio della circonferenza inscritta.

Svolgimento

Dai dati avremo che:

$AC+BD=49 \mbox { m}$

$\frac 75 AC-\frac 38BD=26\mbox { m}$

Ponendo $BD=x$ otteniamo:

$AC=49-x$

e sostituendo avremo:

$\frac 75 (49-x)-\frac 38x =26$

$56 (49-x)-21x =1040$

$2744-56x-15x =1040$

$-71x =-1704$

$x=24$

Quindi avremo:

$BD=24 \mbox { m}$

$AC=25 \mbox { m}$ .

Sappiamo ancora dai dati che:

$AM=\frac {9}{16}CM$

$BM=MD=12 \mbox { m}$

e notando che:

$AM+CM=AC$

avremo:

$\frac {9}{16}CM+CM=25\mbox { m}$

$\frac {25}{16}CM=25\mbox { m}$

$CM=16 \mbox { m}$

$AM=9\mbox { m}$ .

Per verificare che gli angoli in B e in D siano retti, basterà verificare il secondo teorema di Euclide sul triangolo ABC, che quindi ipotizziamo retto in B. Se fosse vero, deve verificarsi che:

$BM^2=AM \cdot MC$

$12^2=16 \cdot 9$

$144=144$ CVD.

Calcoliamo le lunghezze dei lati con Pitagora:

$AB=AD=\sqrt {AM^2+BM^2}=\sqrt {81+144}\mbox { m}=\sqrt {225}\mbox { m}=15\mbox { m}$ .

$BC=BD=\sqrt {CM^2+BM^2}=\sqrt {256+144}\mbox { m}=\sqrt {400}\mbox { m}=20\mbox { m}$ .

Affinchè sia circoscrivibile deve verificarsi che la somma dei lati opposti sia uguale, ma questo è verificato perchè i lati sono uguali a due a due consecutivamente:

$AB+CD=AD+BC$