Esercizio 18 Problemi di geometria

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Traccia

In una circonferenza di centro O è inscritto il triangolo isoscele ABC, di base BC e la cui altezza relativa alla base è AH>AO. Si sa che sono verificate le seguenti relazioni:

    \[\frac 14 AH + \frac 25 BO=9 \mbox { cm }; \quad AO-OH=9 \mbox { cm }\]

.Determinare il perimetro del triangolo e la sua area.

Svolgimento

triangolo isoscele inscritto

Dai dati possiamo notare che:

AH=AO+OH

BO=AO,

quindi, ponendo AO=r e AH=x, otteniamo:

\begin{cases} \frac 14 x + \frac 25 r=9 \\ r-x+r=9\end{cases}

\begin{cases} 5 x + 8 r=180 \\2 r-x=9\end{cases}

\begin{cases} 5(2r-9)+8r = 180 \\ x=2r-9\end{cases}

\begin{cases} 10r-45+8r = 180 \\ x=2r-9\end{cases}

\begin{cases} 18r = 225 \\ x=2r-9\end{cases}

\begin{cases} r = \frac {25}{2} \\ x=16\end{cases}

 

Avremo quindi:

AH=16 \mbox { cm}

AO=12,5 \mbox { cm}

OH=3,5 \mbox { cm}

Prolungando l’altezza fino ad incontrare in D la circonferenza, avremo che:

HD=2r-AH=(25-16)\mbox { cm}=9 \mbox { cm}.

Ora possiamo ricavare BH con il teorema di Euclide:

BH= \sqrt {DH \cdot AH}=\sqrt {9 \cdot 16} \mbox { cm}=\sqrt {144}\mbox { cm}=12 \mbox { cm}

BC=24 \mbox { cm}

L’area quindi sarà:

A=\frac {AH \cdot BC}{2}=\frac {16 \cdot 24}{2}\mbox { cm}^2=192 \mbox { cm}^2.

Per il perimetro ricaviamo il lato obliquo con Euclide:

AB=\sqrt {AH \cdot AD}=\sqrt {16 \cdot 25} \mbox { cm}=20\mbox { cm}

Quindi:

2p=(20+20+24)\mbox { cm}=64 \mbox { cm}.

 
 

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