Alessia scrive: Esercizio segmenti

Pubblicato il 13 Novembre 2013 da Lo StaffLascia un commento

Oggetto: problema 2

Corpo del messaggio:
il punto C divide il segmento AB in due parti tali che AC<BC , inoltre il doppio della parte minore AC è 2 cm in più di BC e il prodotto delle loro misure supera di 3 cmq il quadrato di AC. tracciata per B la perpendicolare ad AB, determina su di essa un punto P tale che PB^2+PC^2+PA^2 =92
PB= ?

Dai dati avremo che:

$AC<BC$

$AC+BC=AB$

$2AC=2 \mbox { cm}+BC$

$AC*BC=3 \mbox { cm}^2+AC^2$

Ricaviamo subito che:

$BC=2AC-2\mbox { cm}$ .

Sostituendo nella seconda otteniamo:

$AC*(2AC-2)=3+AC^2$

$2AC^2-2AC=3+AC^2$

$AC^2-2AC-3=0$

$(AC-3)(AC+1)=0$

Quindi le soluzioni saranno:

$AC=3 \quad \lor \quad AC=-1$ .

Essendo una distanza, questa non potrà mai assumere valore negativo e quindi:

$AC=3 \mbox { cm}$

$BC= 4 \mbox { cm}$

$AC= 7 \mbox { cm}$ .

Tracciato PB, notiamo che i due triangoli che si vengono a formare: PBC e PBA sono rettangoli.

Poniamo $PB=x$ , così otteniamo, per Pitagora:

$PC^2=PB^2+BC^2=x^2+16$

$PA^2=PB^2+BA^2=x^2+49$ .

Sostituiamo tutto nell’equazione richiesta:

$PB^2+PC^2+PA^2 =92$

$x^2+x^2+16+x^2+49=92$

$3x^2=27$

$x^2=9$

$x=\pm 3$ .

Ovviamente è da escludere la soluzione negativa e quindi:ù

$PB=3 \mbox { cm}$ .

P.S. in realtà il valore -3 significa che è indifferente piazzare il punto P a destra o a sinistra del punto B.

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