Valentina scrive: Esercizio su Fasci di Rette

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Oggetto: Fasci di Rette

Corpo del messaggio:
ciao! mi aiutereste con questo esercizio?

dimostra che le equazioni
x-y+6 + k(x+y+4)=0
2x-y+11 + h(x+5)=0
rappresentano, a meno delle rette escluse, lo stesso fascio.
quali sono, nei due casi, le rette escluse?
sia rk la retta che si ottiene per un generico valore di k con la prima equazione.Calcola, in funzione di k, il valore da assegnare a h nella seconda equazione per ottenere la stessa retta.

non capisco cosa significhi “a meno delle rette escluse”
sono solo riuscita a dimostrare che per
h=-1 e k=0 i due fasci sono uguali.
ma non riesco a proseguire e non capisco neanche il testo del problema..

grazie per l’aiuto

 

 

Risposta dello staff

Quando si parla di retta esclusa, si parla di rette combinate linearmente tramite un solo parametro. In parole spicciole, sarebbero le rette che escluderebbero l’utilizzo del parametro.

Quindi sarebbero:

x+y+4=0

e

x+5=0

Per dimostrare che i fasci coincidano, basterà intersecare tra di loro le generatrici:

    \[\begin{cases} x+y+4=0\\ x+5=0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} y=1\\ x=-5 \end{cases}\]

così da notare che entrambi i fasci sono centrati nello stesso punto (-5;1).
Andiamo ora ad analizzare le due equazioni:

    \[\begin{cases} y=\frac {k+1}{1-k}x+\frac {6+4k}{1-k} \, \, \mbox { con} k \neq1 \\ y=(2+h)x+11+5h \end{cases}\]

Dobbiamo imporre che k \neq 1 nel primo fascio, ma questo non è limitante, ottenendo per quel valore di k la retta esclusa dal secondo fascio.
Andiamo ora a trovare h in funzione di k uguagliano i coefficienti della x e del termine noto (questa è superflua, basterà solo verificare che vada bene per ambedue):
\frac {k+1}{1-k} = 2+h
k+1 = 2+h+2+h-2k-kh
h(2-k)=k+1-4+2k
h=\frac {3k-3}{2-k}

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