Esercizi equazioni di secondo grado: Problema 4 di geometria piana

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Soluzione e svolgimento del seguente problemi di geometria piana.

 

  • Il perimetro di un rombo è cm 204 e una diagonale è i \frac {15}{8} dell’altra. Calcolare l’area del rombo.

Chiamiamo con \overline {AB}=l il lato del rombo e con \overline{BD}=x e \overline{AC}=y le diagonali del quadrilatero.

Dai dati otteniamo che:

4l=204 \mbox { cm}

x=\frac {15}{8}y

Dalla prima equazione otteniamo:

l=\frac {204}{4} \mbox { cm}=51 \mbox { cm}.

Ora dobbiamo sfruttare le proprietà del rombo: le diagonali si intersecano nel loro punto medio perpendicolarmente. Ciò significa che il rombo si divide in 4 triangoli rettangoli uguali tra di loro, dove le due semidiagonali sono i cateti e il lato del rombo è l’ipotenusa.

Sfruttando questo, la seconda equazione dei dati, e il teorema di Pitagora otteniamo:

x^2+y^2=l^2

(\frac {15}{8}y)^2 +y^2=51^2 \mbox { cm}^2

\frac {225}{64}y^2+y^2=2601 \mbox { cm}^2

\frac {225+64}{64}y^2=2601 \mbox { cm}^2

\frac {289}{64}y^2=2601 \mbox { cm}^2

y^2=\frac {64}{289} 2601 \mbox { cm}^2

y^2= 576 \mbox { cm}^2

y=24\mbox { cm}

Escludiamo a priori la soluzione negativa in quanto un lato non può assumere misura negativa.

Calcoliamo quindi la diagonale maggiore:

x=\frac {15}{8}y=\frac {15}{8} 24 \mbox { cm}= 45 \mbox { cm}

Conoscendo le due diagonali possiamo così calcolare l’area:

A=\frac 1 2 \cdot 2x \cdot 2y= \frac 1 2 90*48 \mbox { cm}^2 =2160 \mbox { cm}^2

 

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2 pensieri riguardo “Esercizi equazioni di secondo grado: Problema 4 di geometria piana”

  1. Perdonate un dubbio:
    il dato trovato (y=24) non è la semidiagonale del rombo? Non si dovrebbe moltiplicare per 2 (y=48), prima di calcolare la lunghezza della diagonale maggiore (e poi l’area)?
    Grazie per l’attenzione.

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