Esercizi equazioni di secondo grado: Problema 10 di geometria piana

Soluzione e svolgimento del seguente problemi di geometria piana.

In un triangolo isoscele la base supera di a l’altezza, mentre ciascuno dei due lati congruenti supera di a la base. Trovare il perimetro e l’area del triangolo.

Definiamo con $b$ la base, con $h$ l’altezza e con $l$ i lati del triangolo isoscele. Dai dati otteniamo che:

$b=h+a$

$l=b+a=h+2a$ .

Dalle proprietà del triangolo isoscele dobbiamo ricordare che l’altezza cade perpendicolarmente sul punto medio della base, così da dividere il triangolo isoscele in 2 triangoli rettangoli.

Sfruttando il teorema di Pitagora su questo triangolo venutosi a formare, otteniamo:

$l^2=h^2+(\frac 1 2 b)^2$ .

Sostituendo nell’ultima le due equazioni precedenti, otteniamo:

$(h+2a)^2=h^2+(\frac 1 2 (h+a))^2$

$h^2+4ah+4a^2=h^2+\frac 1 4(h^2+2ah+a^2)$

$h^2+4ah+4a^2-h^2-\frac {h^2+2ah+a^2}{4}=0$

$\frac {16ah+16a^2-h^2-2ah-a^2}{4}=0$

$-h^2+14ah+15a^2=0$

$h^2-14ah-15a^2=0$

$h_\frac 1 2= \frac {14 a\pm \sqrt{196 a^2+60 a^2}}{2}$

$h_\frac 1 2= \frac {14 a\pm \sqrt{256 a^2}}{2}$

$h_\frac 1 2= \frac {14 a \pm 16 a}{2}$

$h_1= \frac {14+16}{2} a=\frac {30}{2} a=15a$

$h_2=\frac {14-16}{2} a=-\frac 2 2 a=-a$

Visto che $h_2$ è negativa, questa soluzione non è accettabile in quanto una misura deve essere necessariamente positiva.

Quindi l’unica soluzione accettabile è: $h=15a$ , da cui

$b=16a$

$l=17a$

$2p=2l+b=17a+17a+16a=50a$

$A= \frac 1 2 b*h=\frac 1 2 16 a * 15 a=120a^2$

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