Tommaso scrive: Problema

Oggetto: Problema

Corpo del messaggio:
Disegna un triangolo isoscele ottusangolo di base AB e altezza CH. Fissa sull’altezza CH un punto E, tale che risulti AE:EH=7:2, e traccia da E il segmento EF perpendicolare al lato BC. Il lato del triangolo è lungo 30 cm e la somma dell’altezza CH e della proiezione di BC sulla base AB è 42cm.
a) calcola la lunghezza della base AB
b) calcola il perimetro del triangolo CEF

Risposta dello staff

Dai dati abbiamo che:

$AE=\frac 72 EH$

$AC=CB=30 \mbox{ cm}$

$CH+BH=42 \mbox{ cm}$

Per il teorema di Pitagora sappiamo che:

$BC^2=CH^2+BH^2$

Ponendo $BH=x$ , avremo:

$CH=42-x$

e sostituendo otteniamo:

$900=(42-x)^2+x^2$

$900=1764-84x+x^2+x^2$

$2x^2-84x+864=0$

$x^2-42x+432=0$

$x_{\frac 12}= \frac {42 \pm \sqrt {1764-1728}}{2}=\frac {42 \pm 6}{2}$

$x_1=18 \mbox { cm}$

$x_2=24 \mbox { cm}$

La prima soluzione però sarà da scartare perchè, essendo ottusangolo, la base dovrà misurare più di $30 \sqrt 2 \mbox{ cm} \simeq 42,43 \mbox{ cm}$ .

Quindi avremo che:

$BH= 24 \mbox{ cm}$

$CH= 18 \mbox{ cm}$

$AB= 48 \mbox{ cm}$

Per calcolare il perimetro del triangolo CEF notiamo che i triangoli CEF e CHB sono simili tra loro e quindi basterà trovare la relazione tra due lati.

Dalla prima relazione ricaviamo CE, ponendo $EH=x$ , così da avere: