Esercizio 4 Funzione razionale fratta

$y=\frac{2x}{x^2-1}$

Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale fratta, bisognerà escludere quei valori che annullano il denominatore; quindi il dominio è tutto $\mathbb{R} - \{ \pm 1 \}$ , o scritto sotto forma di intervalli:

$D=]-\infty; -1[ \quad \cup \quad ]-1;1[ \quad \cup \quad ]1; +\infty [$

Simmetrie e periodicità

$-f(x)=\frac{-2x}{x^2-1}$

$f(-x)=\frac{-2x}{x^2-1}$

Questa funzione sarà simmetrica rispetto all’origine..

Intersezioni con gli assi

$\begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases}$

La funzione avrà una intersezione con gli assi, proprio nell’origine:

$O\left (0;0 \right)$

Segno della funzione

Studiamo la positività di $f(x)$ :

$\frac{2x}{x^2-1} \geq0$

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

$2x \geq 0 \rightarrow x \geq 0$

$x^2-1 >0 \rightarrow x <-1 \quad \lor \quad x >1$

La funzione sarà positiva per $-1<x\leq0$ e per $x >1$ .

La funzione sarà negativa per $x<-1$ e per $0 <x<1$

condizione agli estremi

$\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= 0$

$\lim_{ x \rightarrow - 1^-} f(x)= - \infty$

$\lim_{ x \rightarrow - 1^+} f(x)= + \infty$

$\lim_{ x \rightarrow 1^-} f(x)= - \infty$

$\lim_{ x \rightarrow 1^+} f(x)= + \infty$

Asintoti

La funzione avrà asintoto orizzontale in $y=0$

La funzione avrà due asintoti verticali per $x=\pm 1$

Studio della derivata prima

$y'=\frac{2(x^2-1)-(2x)(2x)}{(x^2-1)^2}=\frac{2x^2-2-4x^2}{(x^2-1)^2}=\frac{-2x^2+2}{(x^2-1)^2}=\frac {-2}{x^2-1}$

$y' \geq 0$

$\frac{-2}{x^2-1} \geq0$

Ci limiteremo quindi a studiare solo il denominatore, visto che il numeratore è sempre negativo per ogni x del dominio:

$x^2 -1 < 0$

La disequazione è quindi verificata per $-1 < x < 1$

La funzione sarà quindi decrescente in $]-\infy;-1[$ , e in $]1;+\infty[$ e sarà crescente in $]-1;1[$ .

Non ammetterà massimi e minimi relativi.

Studio della derivata seconda

$y''=\frac {4x}{(x^2-1)^2}$

$y''\geq 0$

Essendo il denomnatore sempre positivo per ogni x appartenente al dominio, allora studieremo solo:

$4x \geq0$

$x \geq 0$

La funzione avrà concavità verso il basso fino negli intervalli $]-\infty; -1 [$ e $]-1; 0 [$ concavità verso l’alto negli intervalli $]0 ;1 [$ e $]1 ;+\infty[$ .

Quindi avrà 1 punti di flesso nell’origine.

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