Esercizio 7 Funzione razionale fratta

$y=\frac{x^2+x-1}{x^2+x-2}$

Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale fratta, bisognerà escludere quei valori che annullano il denominatore; quindi il dominio è tutto $\mathbb{R} - \{ -2; 1 \}$ , o scritto sotto forma di intervalli:

$D=]-\infty; -2[ \quad \cup \quad ]-2;1[ \quad \cup \quad ]1; +\infty [$

Simmetrie e periodicità

$-f(x)=-\frac{x^2+x-1}{x^2+x-2}$

$f(-x)=\frac{x^2-x-1}{x^2-x-2}$

Questa funzione non avrà simmetrie.

Intersezioni con gli assi

$\begin{cases} x=0 \\ y=\frac 12 \end{cases}$

$\begin{cases} y=0 \\ x_{\frac 12}=\frac {-1 \pm \sqrt 5}{2} \end{cases}$

La funzione avrà tre intersezione con gli assi:

$A\left (0;\frac 12 \right)$

$B\left (\frac {-1 - \sqrt 5}{2};0 \right)$

$C\left (\frac {-1 + \sqrt 5}{2};0 \right)$

Segno della funzione

Studiamo la positività di $f(x)$ :

$\frac{x^2+x-1}{x^2+x-2} \geq0$

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

$x^2+x-1 \geq 0 \rightarrow x \leq \frac {-1-\sqrt 5}{2} \quad \lor \quad x \geq \frac {-1+\sqrt 5}{2}$

$x^2+x-2 > 0 \rightarrow x <-2 \quad \lor \quad x > 1$

La funzione sarà positiva per $x<-2$ , per $\frac {-1-\sqrt 5}{2} <x < \frac {-1-\sqrt 5}{2}$ e per $x >1$ .

La funzione sarà negativa per $-2<x<\frac {-1-\sqrt 5}{2}$ e per $\frac {-1-\sqrt 5}{2} <x<1$

condizione agli estremi

$\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= 1$

$\lim_{ x \rightarrow - 2^-} f(x)= + \infty$

$\lim_{ x \rightarrow - 2^+} f(x)= - \infty$

$\lim_{ x \rightarrow 1^-} f(x)= - \infty$

$\lim_{ x \rightarrow 1^+} f(x)= + \infty$

Asintoti

La funzione avrà asintoto orizzontale in $y=1$

La funzione avrà due asintoti verticali per $x=-2$ e $x=1$ .

Studio della derivata prima

$y'=\frac{(2x+1)(x^2+x-2)-(x^2+x-1)(2x+1)}{(x^2+x-2)^2}=-\frac{2x+1}{(x^2+x-2)^2}$

$y' \geq 0$

$-\frac{2x+1}{(x^2+x-2)^2} \geq0$

Ci limiteremo quindi a studiare solo il numeratore, visto che il denominatore è sempre positivo per ogni x del dominio:

$2x+1 \leq 0$

La disequazione è quindi verificata per $x \leq -\frac 12$

La funzione sarà quindi crescente in $]-\infy;-2[$ , e in $]-2;-\frac 12[$ e sarà decrescente in $]-\frac 12;2[$ e in $]2;+\infty[$ .

Avrà un massimo nel punto M di ascissa $\frac 12$ .

Studio della derivata seconda

$y''=-\frac {2(x^2+x-2)^2-2(2x+1)(x^2+x-2)(2x+1)}{(x^2+x-2)^4}=-\frac {2x^2+2x-4-8x^2-8x-2}{(x^2+x-2)^3}=6\frac {x^2+x+1}{(x^2+x-2)^3}$

$y''\geq 0$

Il numeratore è sempre positivo, mentre invece il denominatore l’abbiamo già discusso all’inizio dell’esercizio. Avremo quindi che la funzione avrà concavità verso il basso in $]-2; 1 [$ e concavità verso l’alto negli intervalli $]-\infty ;-2 [$ e $]1 ;+\infty[$ .

Non avrà punti di flesso.

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