Mirco scrive: esame matematica 1 – Studio di funzione

$f(x)=\begin{cases} -x^2 \qquad \mbox{ se } x \leq 0 \\ e^{-\frac 1x} \qquad \mbox{ se } x >0\end{cases}$

Risposta dello staff

Dominio

Essendo una funzione a tratti formata da una funzione polinomiale e da una funzione esponenziale, dove però, in essa, viene escluso lo 0, valore che annulla il denominatore, il dominio di f sarà tutto $\mathbb{ R}$

Positività

Si nota subito che la funzione sarà positiva per $x>0$ , per definizione di esponenziale, sarà negativa per $x<0$ , poichè $x^2>0$ per $x \neq 0$ , e sarà nulla per $x=0$ .

$f(x)>0 \iff x>0$

$f(x)=0 \iff x=0$

$f(x)<0 \iff x<0$

L’unica intersezione con gli assi sarà l’origine, e la funzione in 0 risulta continua.

$\lim_{x \to 0^-} f(x)=0$

$\lim_{x \to 0^+} f(x)=0$

Studiamo i limiti agli estremi:

$\lim_{x \to - \infty} f(x)=-\infty$

$\lim_{x \to + \infty} f(x)=e$

Questa funzione avrà asintoto orizzontale destro in $y=e$ , ma non lo avrà a sinistra in quanto la funzione nella parte sinistra del grafico è una parabola.

Studiamo la derivata prima:

$f'(x)=\begin{cases} -2x \qquad \mbox{ se } x \leq 0 \\ \frac{e^{-\frac 1x}}{x^2} \qquad \mbox{ se } x >0\end{cases}$

La funzione non ammetterà ne massimi ne minimi relativi; in 0 la funzione non sarà derivabile perchè i limiti della derivata prima calcolati in 0 sono diversi.

$\lim_{x \to 0^-} f(x)=0$

$\lim_{x \to 0^+ } f(x)=+\infty$