Esercizio 4 Sistemi di equazioni goniometriche

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Traccia

\begin{cases} sen(3x+y)=\frac12 \\ cos(3x-y)=\frac{\sqrt 3}{2}\end{cases}

Svolgimento

Per risolvere questo sistema semplicemente eguagliare l’argomento degli angoli che fanno si che il sen sia uguale a 1 e il  cos sia uguale a \frac {\sqrt 3}2:

 

\begin{cases} 3x+y=30^\circ+k360^\circ \quad \lor \quad 3x+y=150^\circ+k360^\circ \\ 3x-y=30^\circ+k360^\circ \quad \lor \quad 3x-y=330^\circ+k360^\circ \end{cases}

In questo caso svolgiamo quattro sistemi differenti:

  • \begin{cases} 3x+y=30^\circ+k360^\circ \\ 3x-y=30^\circ+k360^\circ \end{cases}

Da cui, sommando le due e scrivendo il risultato nella prima equazione e sottraendole due e scrivendo il risultato nella seconda otteniamo:

\begin{cases} 6x=60^\circ+2k360^\circ \\ 2y=0^\circ+2k360^\circ \end{cases}

\begin{cases} x=10^\circ+k120^\circ \\ y=0^\circ+k360^\circ \end{cases}

  • \begin{cases} 3x+y=30^\circ+k360^\circ \\ 3x-y=330^\circ+k360^\circ \end{cases}

Da cui, sommando le due e scrivendo il risultato nella prima equazione e sottraendole due e scrivendo il risultato nella seconda otteniamo:

\begin{cases} 6x=360^\circ+2k360^\circ \\ 2y=-300^\circ+2k360^\circ \end{cases}

\begin{cases} x=60^\circ+k120^\circ \\ y=-150^\circ+k360^\circ \end{cases}

  • \begin{cases} 3x+y=150^\circ+k360^\circ \\ 3x-y=30^\circ+k360^\circ \end{cases}

Da cui, sommando le due e scrivendo il risultato nella prima equazione e sottraendole due e scrivendo il risultato nella seconda otteniamo:

\begin{cases} 6x=180^\circ+2k360^\circ \\ 2y=120^\circ+2k360^\circ \end{cases}

\begin{cases} x=30^\circ+k120^\circ \\ y=60^\circ+k360^\circ \end{cases}

  • \begin{cases} 3x+y=150^\circ+k360^\circ \\ 3x-y=330^\circ+k360^\circ \end{cases}

Da cui, sommando le due e scrivendo il risultato nella prima equazione e sottraendole due e scrivendo il risultato nella seconda otteniamo:

\begin{cases} 6x=480^\circ+2k360^\circ \\ 2y=-180^\circ+2k360^\circ \end{cases}

\begin{cases} x=80^\circ+k120^\circ \\ y=-90^\circ+k360^\circ \end{cases}

 

 

 

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