Esercizio 1 Problema di geometria piana risolubili con l'uso della trigonometria.

Traccia

Di un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, si sa che il rapporto tra AC e AB è $\frac {\sqrt 3}{3}$ . Determinare gli angoli del triangolo.

Svolgeremo questo esercizio con i radianti. Se ci fossero problemi con il loro utilizzo, basta eseguire la seguente sostituzione:

$\pi=180^\circ$ .

Svolgimento

Denotiamo con:

$\widehat{A C B} = \alpha$

$\widehat{B A C} =\widehat{A B C}= \beta$ , in quanto angoli alla base di un triangolo isoscele.

Applicando il teorema dei seni si ha

$\frac {AC}{sen \beta}=\frac {AB}{sen(\pi-2\beta)}$ ,

da cui avremo che, ricordandoci delle formule sui seni, ovvero:

$sen(\pi-2\beta)=sen(2\beta)=2sen(\beta)cos(\beta)$ .

Sfruttando queste trasformazioni otteniamo:

$\frac {AC}{AB}=\frac {\sqrt 3}{3}=\frac {sen \beta}{sen(\pi−2\beta)}=\frac {1}{2cos\beta}$ .

Uguagliando il secondo e il quarto membro otterremo.

$2cos(\beta)=\frac {3}{\sqrt 3}$

$cos(\beta)=\frac {3\sqrt 3}{6}$

$cos(\beta)=\frac {\sqrt 3}{2}$

E di conseguenza la soluzione sarà:

$\beta=\frac {\pi}{6}$ ,

$\alpha=\frac {2}{3}\pi$ .

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