Esercizio 4 Valori assoluti: equazioni in cui compaiono valori assoluti

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Traccia

\left | -x^2+4x+1\right | =2x+2

Svolgimento

Per svolgere questa equazione dovremo considerare separatamente due casi, ovvero studiare il caso in cui il valore assoluto sia positivo e/o negativo e svolgere i calcoli singolarmente.

Studiamo prima la positività del modulo:

  • -x^2+4x+1 \geq 0 \Rightarrow x^2-4x-1 \leq 0

Senza svolgere tutti i calcoli, avremo che:

2 -\sqrt 5 \leq x \leq 2+ \sqrt 5

Quindi avremo che:

-x^2 +4x+1 \geq 0 \mbox { per } 2-\sqrt 5 \leq x \leq 2+\sqrt 5

-x^2+4x+1 < 0 \mbox { per } x< 2-\sqrt 5 \quad \lor \quad x>2+ \sqrt 5

Studiamo i due sistemi:

\begin{cases} 2-\sqrt 5 \leq x \leq 2+\sqrt 5 \\ -x^2+4x+1=2x+2 \end{cases} \qquad \begin{cases} x< 2-\sqrt 5 \quad \lor \quad x>2+ \sqrt 5 \\ x^2-4x-1=2x+2 \end{cases}

\begin{cases} 2-\sqrt 5 \leq x \leq 2+\sqrt 5 \\ x^2-2x+1=0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x< 2-\sqrt 5 \quad \lor \quad x>2+ \sqrt 5 \\ x^2-6x-3=0 \end{cases}

\begin{cases} 2-\sqrt 5 \leq x \leq 2+\sqrt 5 \\ (x-1)^2=0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x< 2-\sqrt 5 \quad \lor \quad x>2+ \sqrt 5 \\ x_{\frac 12}= \frac {6 \pm \sqrt {36+12}}{2} \end{cases}

\begin{cases} 2-\sqrt 5 \leq x \leq 2+\sqrt 5 \\ x=1 \end{cases} \qquad \begin{cases} x< 2-\sqrt 5 \quad \lor \quad x>2+ \sqrt 5 \\ x_{\frac 12}= \frac {6 \pm 4\sqrt {3}}{2} \end{cases}

\begin{cases} 2-\sqrt 5 \leq x \leq 2+\sqrt 5 \\ x=1 \end{cases} \qquad \begin{cases} x< 2-\sqrt 5 \quad \lor \quad x>2+ \sqrt 5 \\ x_{\frac 12}= 3 \pm 2\sqrt {3} \end{cases}

Di queste 3 soluzioni, solo due verificano le condizioni:

  1. x=1 è accettabile
  2. x=3- 2\sqrt 3 non è accettabile
  3. x=3+ 2\sqrt 3  è accettabile 

     

     

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