Esercizio 8 Equazioni parametriche

Traccia

Determinare i valori del parametro $m$ per cui l’equazione $x(x+2)=(4m-1)(4m+1)$ ha due soluzioni distinte, entrambe negative.

Svolgimento

$x(x+2)=(4m-1)(4m+1)$

$x^2+2x+1-16m^2=0$

Per capire per quali valori di $a$ l’equazione avrà sempre soluzioni reali, basterà semplicemente studiare la positività del $\Delta$ .

$a=1$

$b=2$

$c=1-16m^2$

$\Delta=4-4(1-16m^2)$

$\Delta=64m^2$

Imponiamo ora che $\Delta \geq 0$ e avremo:

$64m^2 \geq 0$

L’equazione associata ammetterà come soluzione:

$a=1$

e quindi, andando a vedere la tabella delle disequazioni, il risultato sarà:

$\forall a \in R$ .

Affinchè le due radici siano negative deve accadere che:

Andando a risolvere queste due disequazioni simultaneamente otterremo:

$\begin {cases} -2<0 \\ 1-16m^2>0 \end{cases}$

$\begin {cases} -2<0 \\16m^2-1<0 \end{cases}$

$\begin {cases} \forall a \in R \\ -\frac 14 <m<\frac 14 \end{cases}$

Intersecando le soluzioni, visto che queste comunque devono essere verificate contemporaneamente, si verifica subito che la soluzione richiesta è:

$-\frac 14 <m <\frac 14 \mbox { con } m \neq 0$ .

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