Esercizio 10 formule di duplicazione

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Traccia

cotg(45^\circ + x)=\frac {cos2x}{1+tgx}

Svolgimento

Per svolgere questa equazione bisogna utilizzare le formule:

cotg (\alpha + \beta)=\frac {cotg\alpha cotg \beta -1}{cotg \alpha+ cotg \beta}

cos2x=cos^2x-sen^2x=1-2sen^2x.

Sostituendole nell’equazione otteniamo:

\frac {cotg45^\circ cotg x -1}{cotg 45^\circ+ cotg x}=\frac {cos^2x-sen^2x}{1+tgx}

\frac {cotg x -1}{1+ cotg x}=\frac {cos^2x-sen^2x}{1+tgx}

Sostituendo le due funzioni tg e cotg otteniamo:

\frac {\frac {cosx}{senx} -1}{1+ \frac {cosx}{senx}}=\frac {cos^2x-sen^2x}{1+\frac {senx}{cosx}}

\frac {\frac {cosx-senx}{senx}}{ \frac {senx+cosx}{senx}}=\frac {cos^2x-sen^2x}{\frac {cosx + senx}{cosx}}

Nel primo fattore possiamo semplificare senx imponendo che sia diverso da 0; nel secondo portiamo a numeratore cosx.

\frac {cosx-senx}{senx+cosx}=\frac {(cosx-senx)(cosx+senx)cosx}{cosx + senx}

Imponendo un’altra condizione senx \neq -cosx, avremo

cosx-senx=cosx(cosx+senx)(cosx-senx)

Riscrivendo meglio e mettendo in evidenza otteniamo:

(cosx-senx)(1-cos^2x+senxcosx)=0

sapendo che sen^2x=1-cos^2x otteniamo:

(cosx-senx)(sen^2x+senxcosx)=0

senx(cosx-senx)(senx+cosx)=0

Avendo prima imposto che: senx \neq -cosx rimane solo:

senx(cosx-senx)=0

Distinguiamo due casi:

  • senx=0

x=0 \quad \lor \quad x= \pi

  • senx=cosx

x=\frac 14 \pi \quad \lor \quad x=\frac 54 \pi.

 

 

 

 

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