Esercizio 11 Equazioni parametriche

Traccia

Data l’equazione: $(k-1)x^2-2kx+3k=0$ , determinare $k$ in modo che essa ammetta soluzioni concordi.

Svolgimento

$(k-1)x^2-2kx+3k=0$

Prima di tutto occorre capire per quali valori di $k$ l’equazione avrà sempre soluzioni reali, e quindi, basterà semplicemente studiare la positività del $\Delta$ .

$a=k-1$

$b=-2k$

$c=3k$

$\Delta=4k^2-12k(k-1)$

$\Delta=4k^2-12k^2+12k$

$\Delta=-8k^2+12k$

Imponiamo ora che $\Delta \geq 0$ e avremo:

$-8k^2+12k \geq 0$

$4k(2k-3) \leq 0$

Da cui avremo, andando a vedere la tabella delle disequazioni:

$0 \leq k \leq \frac 32$ .

Affinchè le due radici siano concordi deve accadere che:

$\frac ca >0$

$\frac {3k}{k-1} \geq 0$

$N\geq 0 \Rightarrow k \geq 0$
$D>0 \Rightarrow k >1$

Senza bisogno di fare il grafico, possiamo direttamente dire che la disequazione sarà verificata per valori esterni alle radici, ovvero:

$k \leq 0 \quad \lor \quad k > 1$ .

Intersecando la possibilità che la disequazione abbia soluzione con la possibilità che abbia radici concordi, avremo la soluzione:

$1 <x \leq \frac 32$ .

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