Esercizio 10 Funzione razionale fratta

-2

y=\frac{x-1}{x^3}

 

  • Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale fratta, bisognerà escludere quei valori che annullano il denominatore; quindi il dominio è tutto \mathbb{R} - \{ 0 \}, o scritto sotto forma di intervalli:

    \[D=]-\infty; 0[ \quad \cup \quad ]0; +\infty [\]

  • Simmetrie e periodicità

f(-x)=\frac{x+1}{x^3}

-f(x)=\frac{1-x}{x^3}

Questa funzione non avrà simmetrie.

  • Intersezioni con gli assi

\begin{cases} y=0 \\ x=1 \end{cases}

La funzione avrà una intersezione con gli assi:

P\left (1;0 \right)

  • Segno della funzione

Studiamo la positività di f(x):

\frac{x-1}{x^3} \geq0

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

x-1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1

x^3 >0 \rightarrow x>0

La funzione sarà positiva per x<0 e per x>1

La funzione sarà negativa per 0 <x<1

La funzione si annullerà per x=1.

  • condizione agli estremi

    \[\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= 0\]

    \[\lim_{ x \rightarrow 0^-} f(x)= + \infty\]

    \[\lim_{ x \rightarrow 0^+} f(x)= - \infty\]

  • Asintoti

La funzione avrà asintoto orizzontale in y=0

La funzione avrà asintoto verticale per x=0

  • Studio della derivata prima

y'=\frac {x^3-(x-1)3x^2}{x^6}=\frac {x^3-3x^3+3x^2}{x^6}=\frac {x^2(3-2x)}{x^6}=\frac {3-2x}{x^4}

y' \geq 0

\frac {3-2x}{x^4} \geq0

Ci limiteremo quindi a studiare solo il numeratore, visto che il denominatore è sempre positivo per ogni x del dominio:

3-2x \geq 0 \iff x \leq \frac 32

Intersecando le soluzioni, avremo che la funzione sarà quindi crescente in ]-\infty; 0[; sarà crescente in ]0;\frac 32[; sarà decrescente in ]\frac 32;+\infty.

Avrà un massimo relativo nel punto M di ascissa \frac 32.

 

  • Studio della derivata seconda

y''=\frac {-2x^4-(3-2x)4x^3}{x^8}=\frac {-2x-12+8x}{x^5}=\frac{6x-12}{x^5}

y''\geq 0

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

6x-12 \geq 0 \iff x \geq 2

x^5 >0 \iff x>0

La funzione avrà concavità verso l’alto negli intervalli ]-\infty;0 [ e ]2 ;+\infty[.

La funzione avrà concavità verso il basso  negli intervalli ]0;2[.

Ammetterà un punto di flesso in F(2;\frac 18)

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