Esercizio 2 Funzione razionale fratta

0

y=\frac{1-3x}{x-1}

  • Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale fratta, bisognerà escludere quei valori che annullano il denominatore, e quindi il dominio è tutto \mathbb{R}-\{1\}, o scritto sotto forma di intervalli:

    \[D=]-\infty; 1 [ \quad \cup \quad ]1;+\infty [\]

  • Simmetrie e periodicità

-f(x)=\frac{3x-1}{x-1}

f(-x)=\frac{-1-3x}{-x-1}

Questa funzione non avrà simmetrie.

  • Intersezioni con gli assi

\begin{cases} x=0 \\ y=-1 \end{cases}

\begin{cases} y=0 \\ x=\frac 13 \end{cases}

La funzione avrà due intersezioni con gli assi:

\left (0;-1 \right) e \left (\frac 13;0 \right)

  • Segno della funzione

Studiamo la positività di f(x):

\frac{1-3x}{x-1} \geq0

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

1-3x \geq 0 \rightarrow x \leq 13

x-1 >0 \rightarrow x > 1

\frac 13 \leq x < 1

  • condizione agli estremi

    \[\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= -3\]

    \[\lim_{ x \rightarrow 1^-} f(x)= +\infty\]

    \[\lim_{ x \rightarrow 1^+} f(x)= -\infty\]

  • Asintoti

La funzione avrà asintoto verticale in x=1 e asintoto orizzontale in y=-3

  • Studio della derivata prima

y'=\frac{-3(x-1)-(1-3x)}{(x-1)^2}=\frac{2}{(x-1)^2}

y' \geq 0

\frac{2}{(x-3)^2} \geq0

Visto che questa disequazione è verificata per ogni valore dell’incognita nel dominio, la funzione sarà sempre crescente per ognuno dei suoi due intervalli, quindi è crescente in x<1 e sarà crescente per x>1. Non avrà massimi e minimi relativi

  • Studio della derivata seconda

y''=\frac {-4}{(x-1)^3}

y''\geq 0

\frac {-4}{(x-1)^3} \geq0

x<1

La funzione avrà concavità verso l’alto fino nell’intervallo ]-\infty; 1 [ e concavità verso il basso nell’intervallo ]1;+\infty [

 

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