Esercizio 3 Funzione razionale fratta

$y=\frac{x-1}{x^2-2x+2}$

Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale fratta, bisognerà escludere quei valori che annullano il denominatore, ma, il denominatore non si annullerà per nessun valore di x e quindi il dominio è tutto $\mathbb{R}$ , o scritto sotto forma di intervalli:

$D=]-\infty; +\infty [$

Simmetrie e periodicità

$-f(x)=\frac{1-x}{x^2-2x+2}$

$f(-x)=\frac{-x-1}{x^2+2x+2}$

Questa funzione non avrà simmetrie.

Intersezioni con gli assi

$\begin{cases} x=0 \\ y=-\frac 12 \end{cases}$

$\begin{cases} y=0 \\ x= 1 \end{cases}$

La funzione avrà due intersezioni con gli assi:

$A\left (0;-\frac 12 \right)$ e

$B\left (1;0 \right)$

Segno della funzione

Studiamo la positività di $f(x)$ :

$\frac{x-1}{x^2-2x+2} \geq0$

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

$x-1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1$

$x^2-2x+2 >0 \rightarrow \forall x \in \mathbb{R}$

$x \geq 1$

condizione agli estremi

$\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= 0$

Asintoti

La funzione avrà asintoto orizzontale in $y=0$

Studio della derivata prima

$y'=\frac{(x^2-2x+2)-(x-1)(2x-2)}{(x^2-2x+2)^2}=\frac{x^2-2x+2-2x^2+4x-2}{(x^2-2x+2)^2}=\frac{-x^2+2x}{(x^2-2x+2)^2}$

$y' \geq 0$ $\frac{-x^2+2x}{(x^2-2x+2)^2} \geq0$

Ci limiteremo quindi a studiare solo il numeratore, visto che il denominatore è sempre positivo:

$-x^2+2x \geq 0$ $x^2-2x \leq 0$ $x(x-2) \leq 0$

La disequazione è quindi verificata per $0\leq x \leq 2$

La funzione sarà quindi decrescente in $]-\infy;0]$ , crescente in $[0;2]$ e decrescente in $]2;+\infty[$ .

Ammetterà quindi un minimo in $m\left(0;- \frac 12 \right)$ e un massimo in $M\left(2; \frac 12 \right)$ .

Studio della derivata seconda

$y''=\frac {(-2x+2)(x^2-2x+2)^2-(-x^2+2x)2(x^2-2x+2)(2x-2)}{(x^2-2x+2)^4}=\frac {(-2x+2)(x^2-2x+2)-2(-x^2+2x)(2x-2)}{(x^2-2x+2)^3}=$

$=\frac {(2x-2)(-x^2+2x-2+2x^2-4x)}{(x^2-2x+2)^3}=\frac {(2x-2)(x^2-2x-2)}{(x^2-2x+2)^3}$

$y''\geq 0$ $\frac {(2x-2)(x^2-2x-2)}{(x^2-2x+2)^3} \geq0$

Il denominatore è sempre positivo e quindi rimangono solo da studiare i due numeratori:

$2x-2 \geq 0 \rightarrow x \geq 1$

$x^2-2x-2 \geq 0$

$x_{\frac 12}= \frac {2 \pm \sqrt{4+8}}{2}=\frac {2 \pm 2\sqrt 3}{2}=1 \pm \sqrt 3$

$x \leq 1-\sqrt 3 \quad \lor \quad x \geq 1+\sqrt3$

Mettendo insieme tutti i risultati avremo che la funzione avrà concavità verso il basso fino negli intervalli $]-\infty; 1-\sqrt 3 [$ e $]1; 1+\sqrt 3 [$ concavità verso l’alto negli intervalli $]1-\sqrt 3 ;1 [$ e $]1+\sqrt3 ;+\infty[$ .