Esercizio 8 Funzione razionale fratta

0

y=\frac{2x^2+4x-11}{x^2+2x-8}

 

  • Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale fratta, bisognerà escludere quei valori che annullano il denominatore; quindi il dominio è tutto \mathbb{R} - \{ -4;2 \}, o scritto sotto forma di intervalli:

    \[D=]-\infty; -4[ \quad \cup \quad ]-4;2[ \quad \cup \quad ]2; +\infty [\]

  • Simmetrie e periodicità

-f(x)=-\frac{2x^2+4x-11}{x^2+2x-8}

f(-x)=\frac{2x^2-4x-11}{x^2-2x-8}

Questa funzione non avrà simmetrie.

  • Intersezioni con gli assi

\begin{cases} x=0 \\ y=\frac {11}{8} \end{cases}

\begin{cases} y=0 \\ x_{\frac 12}=\frac {-2 \pm \sqrt{26}}{2} \end{cases}

La funzione avrà tre intersezione con gli assi nei punti:

A\left (0;\frac {11}{8}\right)

B\left (\frac {-2 - \sqrt{26}}{2} ;0\right)

C\left (\frac {-2 + \sqrt{26}}{2} ;0\right)

  • Segno della funzione

Studiamo la positività di f(x):

\frac{2x^2+4x-11}{x^2+2x-8}\geq 0

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

2x^2+4x-11 \geq 0 \rightarrow x \leq \frac {-2 - \sqrt{26}}{2} \quad \lor \quad x \geq \frac {-2 + \sqrt{26}}{2}

x^2-2x+8 >0 \rightarrow x <-4 \quad \lor \quad x >2

La funzione sarà positiva per x < \frac {-2 - \sqrt{26}}{2}, per-4<x < \frac {-2 + \sqrt{26}}{2} e per x >2.

La funzione sarà negativa per \frac {-2 - \sqrt{26}}{2}<x<-4 e per \frac {-2+ \sqrt{26}}{2}<x<2

  • condizione agli estremi

    \[\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= 2\]

    \[\lim_{ x \rightarrow - 4^-} f(x)= - \infty\]

    \[\lim_{ x \rightarrow - 4^+} f(x)= + \infty\]

    \[\lim_{ x \rightarrow 2^-} f(x)= - \infty\]

    \[\lim_{ x \rightarrow 2^+} f(x)= + \infty\]

  • Asintoti

La funzione avrà asintoto orizzontale in y=2

La funzione avrà due asintoti verticali per x=-4 e per x=2

  • Studio della derivata prima

y'=\frac{(4x+4)(x^2+2x-8)-(2x^2+4x-11)(2x+2)}{(x^2+2x-8)^2}=

=\frac{4x^3+8x^2-32x+4x^2+8x-32-4x^3-4x^2-8x^2-8x+22x+22}{(x^2+2x-8)^2}=

=\frac{-10x-10}{(x^2+2x-8)^2}=-10\frac {x+1}{(x^2+2x-8)^2}

y' \geq 0

-10\frac {x+1}{(x^2+2x-8)^2} \geq0

Ci limiteremo quindi a studiare solo il numeratore, visto che il denominatore è sempre positivo per ogni x del dominio:

x+1 \leq 0

La disequazione è quindi verificata per x \leq - 1

La funzione sarà quindi crescente in ]-\infy;-4[, e in ]-4;-1[ e sarà decrescente in ]-1;2[ e in ]2;+\infty[.

Avrà un massimo relativo in M(-1;\frac{14}{9})

 

  • Studio della derivata seconda

y''=-10\frac {(x^2+2x-8)^2-2(x+1)(x^2+2x-8)(2x+2)}{(x^2+2x-8)^4}=-10\frac {x^2+2x-8-2(x+1)(2x+2)}{(x^2+2x-8)^3}=

=-10\frac {x^2+2x-8-4x^2-8x-4}{(x^2+2x-8)^3}=-10\frac {-3x^2-6x-12}{(x^2+2x-8)^3}=30\frac {x^2+2x+4}{(x^2+2x-8)^3}

y''\geq 0

30\frac {x^2+2x+4}{(x^2+2x-8)^3} \geq 0

Il numeratore è sempre positivo, e la positività del denominatore l’abbiamo già discussa ad inizio esercizio, quindi:

La funzione avrà concavità verso il basso fino negli intervalli ]-4; 2 [ e concavità verso l’alto negli intervalli ]-\infty ;-4 [ e ]2 ;+\infty[.

Non avrà punti di flesso.

 

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