Esercizio 1 funzioni razionali intere

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y=3x^3-2x^2

 

Risposta dello staff

  • Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale intera, il dominio è tutto \mathbb{R}.

  • Simmetrie e periodicità

-f(x)=-3x^3+2x^2

f(-x)=-3x^3-2x^2

Questa funzione nn avrà simmetrie.

  • Intersezioni con gli assi

\begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases}

\begin{cases} y=0 \\ x=0 \quad x=\frac 23 \end{cases}

La funzione avrà due intersezioni con gli assi:

\left (0;0 \right) e \left (\frac 23;0 \right)

  • Segno della funzione

Studiamo la positività di f(x):

3x^3-2x^2 \geq0

x^2(3x-2)\geq0

x \geq \frac 23

  • condizione agli estremi

    \[\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= \pm \infty\]

  • Asintoti

Essendo una funzione razionale intera non avrà asintoti verticali, orizzontali ne tantomeno obliqui.

  • Studio della derivata prima

y'=9x^2-4x

y' \geq 0

9x^2-4x \geq0

x \leq 0 \quad \lor \quad x \geq \frac 49

La funzione sarà crescente fino al punto (0;0), decrescente fino a \left( \frac 49;-\frac {32}{243}\right), e crescente fino a +\infty.

I punti trovati saranno proprio il massimo e il minimo relativo della funzione.

  • Studio della derivata seconda

y''=18x-4

y''\geq 0

18x-4 \geq0

x \geq \frac 29

La funzione avrà concavità verso il basso fino al punto di flesso F\left(\frac 29; -\frac {16}{243} \right) e concavità verso l’alto in seguito.

 

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