Integrali definiti

Quando parliamo di integrale definito, senza soffermarci troppo su elementi troppo teorici, parliamo di quella funzione che assume l’importante significato geometrico di area con segno; quindi, esiste una relazione fondamentale tra l’integrale definito di una funzione $y=f(x)$ in un intervallo $[a;b]$ , e l’area $A$ della regione piana delimitata dal grafico della funzione e dall’asse delle ascisse.

Precisamente diremo che:

se $f(x)\ge 0 \forall x \in [a;b] \rightarrow A=\int^b_a f(x) \mathrm {d}x$ ;
se $f(x)\le 0 \forall x \in [a;b] \rightarrow A= -\int^b_a f(x) \mathrm {d}x$ .

Posto per definizione che:

$\int_a^a f(x) \mathrm{d}x=0$ ,
$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x= - \int_b^a f(x) \mathrm{d}x$ ,

l’integrale definito soddisfa importanti proprietà:

l’integrale definito è un’operatore lineare:

$\int_a^b [h_1f_1(x) + h_2f_2(x)+...+ h_nf_n(x)] \mathrm{d}x=h_1 \int_a^b f_1(x) \mathrm{d}x + h_2 \int_a^b f_2(x) \mathrm{d}x + ... + h_n \int_a^b f_n(x) \mathrm{d}x$ ,