Iperbole

L’iperbole è il luogo geometrico dei punti $P(x;y)$ del piano per i quali il valore assoluto della differenza delle loro distanze da due punti fissi $F_1$ , $F_2$ , detti fuochi, si mantiene costante (tale valore rappresenta la lunghezza dell’asse trasverso).

Per l’iperbole con centro nell’origine $O(0;0)$ e assi di simmetria coincidenti con gli assi cartesiani si distinguono due casi:

$a,b,c \in R^+$	asse trasverso asse $x$ $\|\overline {PF_1}-\overline {PF_2}\|=2a$	asse trasverso asse $y$ $\|\overline {PF_1}-\overline {PF_2}\|=2b$
equazione canonica	$\frac {x^2}{a^2}-\frac {y^2}{b^2}=1$	$\frac {x^2}{a^2}-\frac {y^2}{b^2}=-1$
coordinate vertici	$A_1(-a;0)$ , $A_2(a;0)$	$B_1(0;-b)$ , $B_2(0;b)$
coordinate vertici non reali	$B_1(0;-b)$ , $B_2(0;b)$	$A_1(-a;0)$ , $A_2(a;0)$
coordinate fuochi	$F_1(-c;0)$ , $F_2(c;0)$	$F_1(0;-c)$ , $F_2(0;c)$
relazione tra i parametri	$a^2+b^2=c^2$	$a^2+b^2=c^2$
lunghezza asse trasverso	$\overline{A_1A_2}=2a$	$\overline{B_1B_2}=2b$
lunghezza asse non trasverso	$\overline{B_1B_2}=2b$	$\overline{A_1A_2}=2a$
distanza focale	$\overline{F_1F_2}=2c$	$\overline{F_1F_2}=2c$
eccentricità $e$ , $e>1$	$e=\frac c a =\frac {\sqrt {a^2+b^2}}{a}$	$e=\frac c b =\frac {\sqrt {a^2+b^2}}{b}$
equazione asintoti	$y=\pm \frac b a x$	$y=\pm \frac b a x$

L’iperbole è detta traslata se ha centro in un punto $C(x_C;y_C)$ e assi di simmetria paralleli agli assi cartesiani, di equazioni $x=x_C$ e $y=y_C$ . Si presentano due casi:

$a,b,c \in R^+$	asse trasverso parallelo all’asse $x$ $\|\overline {PF_1}-\overline {PF_2}\|=2a$	asse trasverso parallelo all’asse $y$ $\|\overline {PF_1}-\overline {PF_2}\|=2b$
equazione canonica	$\frac {(x-x_C)^2}{a^2}-\frac {(y-y_C)^2}{b^2}=1$	$\frac {(x-x_C)^2}{a^2}-\frac {(y-y_C)^2}{b^2}=-1$
coordinate vertici	$A_1(x_C-a;y_C)$ , $A_2(x_C+a;y_C)$	$B_1(x_C;y_C-b)$ , $B_2(x_C;y_C+b)$
coordinate vertici non reali	$B_1(x_C;y_C-b)$ , $B_2(x_C;y_C+b)$	$A_1(x_C-a;y_C)$ , $A_2(x_C+a;y_C)$
coordinate fuochi	$F_1(x_C-c;y_C)$ , $F_2(x_C+c;y_C)$	$F_1(x_C;y_C-c)$ , $F_2(x_C;y_C+c)$
relazione tra i parametri	$a^2+b^2=c^2$	$a^2+b^2=c^2$
lunghezza asse trasverso	$\overline{A_1A_2}=2a$	$\overline{B_1B_2}=2b$
lunghezza asse non trasverso	$\overline{B_1B_2}=2b$	$\overline{A_1A_2}=2a$
distanza focale	$\overline{F_1F_2}=2c$	$\overline{F_1F_2}=2c$
eccentricità $e$ , $e>1$	$e=\frac c a =\frac {\sqrt {a^2+b^2}}{a}$	$e=\frac c b =\frac {\sqrt {a^2+b^2}}{b}$
equazione asintoti	$y=\pm \frac b a (x-x_C)-y_C$	$y=\pm \frac b a (x-x_C)-y_C$

L’iperbole riferita agli assi aventa asse trasverso di lunghezza uguale a quella dell’asse non trasverso, ovvero $a=b$ , viene detta iperbole equilatera riferita agli assi, e ha equazione:

$\frac {x^2}{a^2} - \frac {y^2}{a^2}=1$ , ovvero $x^2-y^2=a^2$ , se i fuochi appartengono all’asse $x$ ,
$\frac {x^2}{a^2} - \frac {y^2}{a^2}=-1$ , ovvero $x^2-y^2=-a^2$ , se i fuochi appartengono all’asse $y$ .