Isometrie

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Si definisce isometria piana ogni trasformazione geometrica piana che a due punti qualsiasi A e B del piano fa corrispondere rispettivamente i punti A' e B', in modo che risulti A'B' \cong AB.

Ogni isometria piana trasforma una figura piana in una figura a essa congruente e conserva l’allineamento, il parallelismo, l’incidenza e la perpendicolarità. Le isometrie piane si suddividono in isometrie dirette e isometrie invertenti. Tra le isometrie piane si distinguono: le simmetrie centrali, le simmetrie assiali, le traslazioni e le rotazioni.

  • Simmetria centrale rispetto a un generico punto C(h;k)

Poichè C(h;k) è punto medio del segmento PP', si ha:

s_C : = \bigg \{ \begin{array}{rl} \frac {x'+x}{2} = h \\ \frac {y'+y}{2}=k \\ \end{array} \; s_C : = \bigg \{ \begin{array}{rl} x' = 2h-x \\ y'=2k-y \\ \end{array}
 
  1.  Isometria diretta
  2. il centro di simmetria C è l’unico punto unito;
  3. le rette del fascio proprio con sostegno nel punto C sono le uniche rette unite, ma non fisse.
  • Simmetria centrale rispetto all’origine O(0;0)

s_O : = \bigg \{ \begin{array}{rl} \frac {x'+x}{2} = 0 \\ \frac {y'+y}{2}= 0 \\ \end{array} \; s_O : = \bigg \{ \begin{array}{rl} x' = -x \\ y'=-y \\ \end{array}

  1. Caso particolare del precedente con h=k=0.
  • Simmetria assiale ortogonale rispetto all’asse x

s_x : = \bigg \{ \begin{array}{rl} x' = x \\ y'=-y \\ \end{array}

  1. Isometria invertente;
  2. i punti dell’asse x sono gli unici punti uniti;
  3. l’asse x è l’unica retta fissa;
  4. le rette perpendicolari all’asse x sono rette unite ma non fisse.
  • Simmetria assiale ortogonale rispetto all’asse y

s_x : = \bigg \{ \begin{array}{rl} x' = -x \\ y'= y \\ \end{array}

  1. Isometria invertente;
  2. i punti dell’asse y sono gli unici punti uniti;
  3. l’asse y è l’unica retta fissa;
  4. le rette perpendicolari all’asse y sono rette unite ma non fisse.
  • Simmetria assiale ortogonale \sigma rispetto alla bisettrice di equazione x-y=0

\sigma : = \bigg \{ \begin{array}{rl} x' = y \\ y'= x \\ \end{array}

  1. Isometria invertente;
  2. i punti della bisettrice sono gli unici punti uniti;
  3. la bisettrice è l’unica retta fissa;
  4. le rette perpendicolari alla bisettrice sono rette unite ma non fisse.
  • Simmetria assiale ortogonale \delta rispetto alla bisettrice di equazione x+y=0

\delta : = \bigg \{ \begin{array}{rl} x' = -y \\ y'= -x \\ \end{array}

  1. Isometria invertente;
  2. i punti della bisettrice sono gli unici punti uniti;
  3. la bisettrice è l’unica retta fissa;
  4. le rette perpendicolari alla bisettrice sono rette unite ma non fisse.

 

  • Simmetria assiale ortogonale rispetto a una generica retta di equazione ax+by+c=0

P e P' sono simmetrici rispetto alla retta r \; \Leftrightarrow \; r è l’asse del segmento PP'

m_r=-\frac a b, m_{PP'}=\frac {y'-y}{x'-x}, M(\frac {x'+x}{2}; \frac {y'+y}{2},

quindi le equazioni della simmetria rispetto a r si ricavano risolvendo in x' e y' il sistema:

\bigg \{ \begin{array}{rl} a(\frac {x'+x}{2})+b(\frac {y'+y}{2}) +c = o \Leftrightarrow M \in r \\ \frac {y'-y}{x'-x}=\frac b a \Leftrightarrow PP' \bot r \Leftrightarrow m_{PP'}=\frac b a \\ \end{array}

  1. Isometria invertente;
  2. i punti della retta r asse di simmetria sono gli unici punti uniti;
  3. la retta r è l’unica retta fissa;
  4. le rette perpendicolari alla retta r sono rette unite ma non fisse.
  • Traslazione \tau_{\vec v} di vettore \vec v (a;b)

\tau_{\vec v} : = \bigg \{ \begin{array}{rl} x' = x+a \\ y'= y+b \\ \end{array}

  1. Isometria diretta;
  2. non ci sono punti uniti;
  3. le rette parallele alla retta su cui giace il vettore \vec v (a;b) sono le uniche rette unite ma non fisse.

 

  • Rotazione \varrho (\alpha) di centro O (0;0) e angolo orientato \alpha

\varrho(\alpha) : = \bigg \{ \begin{array}{rl} x' = x cos\alpha - y sen \alpha \\ y'= x sen \alpha+ y cos \alpha \\ \end{array}

  1. Isometria diretta;
  2. il centro di rotazione O è l’unico punto unito;
  3. se \alpha=\pi la rotazione coincide con la simmetria centrale di centro O; le rette le fascio proprio con sostegno nel punto O sono rette unite ma non fisse.

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