Esercizio 2 Problemi sui teoremi di Euclide

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Traccia

In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 45 cm e la sua proiezione sull’ipotenusa è i 9/16 della proiezione dell’altro cateto sull’ipotenusa. Trovare perimetro e area del triangolo. (Indicare con x la misura della proiezione…)

 

Svolgimento

 

Evito di fare figure geometriche in modo da rendere più leggero l’esercizio. Supponiamo che ABC sia il triangolo rettangolo, retto in A, ed AH sia l’altezza relativa all’ipotenusa.

AB=45 \mbox { cm }

BH =\frac {9}{16} CH

BC=CH+BH=\frac {25}{16}CH

Poniamo CH=x

Applichiamo il 1° teorema di Euclide per trovare i due cateti in funzione della proiezione:

AB^2=BH \cdot BC

AB^2=\frac {9 }{16} x \cdot \frac {25}{16}x

AB^2=\frac {225}{256} x^2

AB=\frac {15}{16}x

x=\frac {16}{15} \cdot 45 \mbox { cm }= 48 \mbox { cm }

Da qui possiamo ricavare il resto:

BC= \frac {25}{16}x = \frac {25}{16} \cdot 48\mbox { cm } =75 \mbox { cm }

Usiamo il primo teorema di Euclide per trovare l’altro cateto:

AC^2=CH \cdot BC

AC^2=48 \cdot 75 \mbox { cm}^2

AC^2 = 3600 \mbox { cm}^2

AC=60 \mbox { cm }

Quindi:

2p= (45+60+75) \mbox { cm }=180 \mbox { cm }

A= \frac {AC \cdot AB}{2}=\frac {45 \cdot 60}{2} \mbox { cm}^2= 1350 \mbox { cm}^2

 

 

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