Esercizio 25 Problemi sui teoremi di Euclide

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Traccia

Data una semicirconferenza di diametro AB=2r, determinare un punto C sopra di essa in modo che, indicata con H la sua proiezione su AB, risulti: 2AH^2 + 6CH^2=9r^2.  (Posto AH=x si ha x=\frac 32 r).

Svolgimento

Senza bisogno di fare la figura, ricordiamo che un triangolo inscritto in una semicirconferenza  è retto. In questo caso sarà retto in C e avremo come ipotenusa AB.

 

Ponendo AH=x, avremo:

BH=2r-x.

Vista la formula, ci serve ricavare CH in funzione dell’incognita, e per farlo utilizziamo il secondo teorema di Euclide:

CH^2=AH \cdot BH

CH^2= x(2r-x)

Riscriviamo la relazione iniziale:

2AH^2+6CH^2=9r^2

2x^2+6x(2r-x)=9r^2

2x^2+12rx-6x^2-9r^2=0

4x^2-12rx+9r^2=0

(2x-3r)^2=0

2x-3r=0

x=\frac 32r.

La soluzione è accettabile in quanto l’incognita ha valore minore rispetto all’ipotenusa.

 

 

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