Esercizio 26 Problemi di geometria

Traccia

E’ data una semicirconferenza di diametro $AB =$ 12 cm; il punto $C$ divide $AB$ in parti proporzionali ai numeri 1 e 4. Si conduca da $C$ la perpendicolare ad $AB$ che incontri in $D$ la semicirconferenza e, dopo aver determinato $AC, CB, CD$ , si determini sull’arco $BD$ un punto $E$ in modo che si abbia

$\frac 19 EH + \frac 14 EK = 2 \mbox { cm} \quad \mbox { e } \quad \frac 15 DH + \frac 12 BK = 1,2 \mbox { cm }.$

, essendo $H$ e $K$ le proiezioni ortogonali di $E$ rispettivamente su $CD$ e $CB$ . Come risulta il quadrilatero $CDEK$ ?

Svolgimento

Dai dati abbiamo che:

$AB=12 \mbox { cm}$

$AC+CB = 12\mbox { cm}$

Sappiamo anche che:

$AC=\frac 14 CB$

o meglio

$CB=4AC$ .

Sostituendo sopra otteniamo:

$AC+4AC= 12 \mbox { cm}$

$AC=2,4 \mbox { cm}$

$BC=9,6\mbox { cm}$ .

Per ricavare CD, sfruttiamo il fatto che il triangolo ADB sia inscritto in una semicirconferenza e di conseguenza rettangolo. Con il secondo teorema di Euclide avremo:

$CD=\sqrt {AC \cdot CB}=\sqrt {2,4 \cdot 9,6}\mbox { cm}=4,8 \mbox { cm}$ .