Esercizio 5 Problema di geometria

Traccia

Nella semicirconferenza di diametro $AB$ è inscritto il triangolo $ABC$ del quale si conosce che

$AC \cong \frac 43 BC \quad \mbox { e } \quad \frac {AC}{6} - \frac {CB}{12}=5 \mbox{ cm }$

. Determinare il diametro $AB$ , il perimetro e l’area del triangolo ABC.

Svolgimento

Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è retto, quindi, ponendo $BC=x$ , otteniamo:

$AC=\frac 43x$ .

E dalla relazione otteniamo:

$\frac {\frac 43x}{6}-\frac {x}{12}=5$

$\frac {2x}{9}-\frac {x}{12}=5$

$8x-3x=180$

$5x=180$

$x=36$

Quindi avremo:

$BC=36 \mbox{ cm }$

$AC=48 \mbox{ cm }$

Ricaviamo AB con il teorema di Pitagora:

$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {1296+2304} \mbox{ cm } =\sqrt {3600}\mbox{ cm } =60 \mbox{ cm }$

Ricaviamo ora perimetro e area:

$2p_{ABC}=(48+36+60)\mbox{ cm }=144 \mbox{ cm }$ .

$A_{ABC}=\frac {AC \cdot BC}{2}=\frac {36 \cdot 48}{2}\mbox{ cm }^2=864 \mbox{ cm}^2$

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