Esercizio 8 Problemi di geometria

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Traccia

In una circonferenza di centro O è data una corda AB che è i \frac 85 del raggio; si sa inoltre che \frac 38 AB + \frac 45 AO=14 cm. Determinare l’area del triangolo isoscele ABC inscritto nella circonferenza contenente il centro e avente per base la corda AB.

Svolgimento

circonferenza con corda

Dai dati sappiamo che:

 

AB = \frac 85 r
\frac 38 AB + \frac 45 AO = 14 \mbox { cm}
Sostituendo la prima uguaglianza nella seconda otteniamo:
\frac 3 8 \frac 85 r + \frac 4 5 r = 14\mbox { cm}

\frac 35 r +\frac 45 r=14\mbox { cm}

\frac 75 r =14\mbox { cm}

r = 10 \mbox { cm}.

Quindi otteniamo:
AB =\frac 85 \cdot 10 \mbox { cm}= 16\mbox { cm}

 

Ricaviamo quindi CH, vedendolo come somma di due segmenti, di cui uno è il raggio e l’altro da ricavare con il teorema di Pitagora sul triangolo OBH:

OH=\sqrt {r^2-(\frac 12 AB)^2}=\sqrt {100-64}\mbox { cm} =\sqrt {36}\mbox { cm}=6\mbox { cm}

quindi avremo:

CH=CO+OH=(10+6)\mbox { cm}=16\mbox { cm}

L’area del triangolo è:
A = \frac {AB \cdot CH}{2} = {16\cdot 16}{2} = 128 \mbox { cm}^2.

 

 

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