Problema 1.3 P.N.I. 2013

Una funzione $f (x)$ è definita e derivabile, insieme alle sue derivate prima e seconda, in $[0, + \infty [$ e nella figura sono disegnati i grafici $\Gamma$ e $\Lambda$ di $f (x)$ e della sua derivata seconda $f ''(x)$ . La tangente a $\Gamma$ nel suo punto di flesso, di coordinate (2; 4) , passa per (0; 0), mentre le rette $y = 8$ e $y = 0$ sono asintoti orizzontali per $\Gamma$ e $\Lambda$ , rispettivamente.

Se $\Gamma$ è il grafico della funzione $f(x)=\frac {a}{1+e^{b-x}}$ , si provi che $a = 8$ e $b = 2$ .

Cominciamo con il provare che $a=8$ , utilizzando l’ipotesi per cui la nostra fuznione ha un asintoto orizzontale di equazione $y=8$ . Infatti:

$\lim_{x \to + \infty} \frac {a}{1+e^{b-x}}=a,$

ma, poichè il risultato del limite appena calcolato deve essere uguale al valore dell’asintoto, possiamo facilmente concludere che $a=8$ .

Per verificare il valore del parametro $b$ , sfruttiamo il punto di flesso $F$ ; visto che questo è un punto di $\Gamma$ , le sue coordinate devono verificare l’equazione di $f(x)$ , ossia