Nella figura a lato è disegnato il grafico di con funzione definita sull’intervallo e ivi continua e derivabile. è tangente all’asse x nell’origine O del sistema di riferimento e presenta un flesso e un massimo rispettivamente per e .

1) Si determinino e ; si dica se il grafico della funzione presenta punti di massimo o di minimo e se ne tracci l’andamento.

 

Risposta dello staff

Per il teorema fondamentale del calcolo integrale, avremo che per ogni .

Dalla traccia sappiamo che è tangente in O ed ammette massimo in k, quindi, avremo:

;

.

Sappiamo anche che, se una funzione è continua, allora questa presenta un massimo e un minimo nell’intervallo considerato, e quindi, supponendo che la funzione non sia costante, che f non si annulli mai tranne che in 0 e in k, e che la sua derivata si annulli solo in h, ne deriva che è crescente nell’intervallo e decrescente in , da cui ricaviamo la positività e la negatività di f.

Inoltre sappiamo anche che g risulta convessa in e concava in , e quindi, h rappresenta un punto di massimo per f, mentre w il punto di minimo.

Ecco il grafico:

 

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