Problema 2.4 Scientifico 2014

A lato è disegnato il grafico $\Gamma$ della funzione

$f(x)=x\sqrt{4-x^2}$

4. Sia $h(x)=sen(f(x))$ con $0\leq x \leq 2$ . Quanti sono i punti del grafico di $h(x)$ di ordinata 1? Il grafico di $h(x)$ presenta punti di minimo, assoluti o relativi? Per quali valori reali di k l’equazione $h(x)= k$ ha 4 soluzioni distinte?

Risposta dello staff

Ci viene chiesto per quali valori di x, $h(x)=1$ , o meglio:

$sen(f(x))=1 \iff f(x)=\frac {\pi}{2}$ .

Vedendo il grafico di $f(x)$ nell’intervallo considerato, questa avrà chiaramente due soluzioni distinte, chiamiamole $x_1$ e $x_2$ .

Per capire i punti di minimo, assoluti o relativi, dobbiamo notare che, nell’intervallo considerato, la funzione continua e derivabile e la sua derivata è:

$h'(x)=cos(f(x))f'(x)$ .

Quindi,

$h'(x)=0 \iff cos(f(x))=0 \quad \lor \quad f'(x)=0$

dalla quale otteniamo che:

$cos(f(x))=0$ nei due punti che abbiamo citato prima, ovvero $x_1$ e $x_2$ .

$f'(x)=0 \iff x_3=\sqrt 2$ , ricavato nel primo esercizio.

Ora, sapendo che in $x_1$ e $x_2$ la funzione assume il suo massimo, e che questa in 0 e in 2 si annulla (ammettendo così minimi assoluti in quei punti), avremo, per il teorema di Weierstrass, che per $x=\sqrt 2$ la funzione ammetterà un minimo relativo.