Problema 2.3

0

Per calcolare g(0), andiamo a ritroso sui dati che abbiamo.

Sappiamo che:

\int_0^3 f(x) \, dx=g(3)-g(0)

e quindi:

g(0)=g(3)-\int_0^3 f(x) \, dx

g(0)=-5-(-4)

Il segno negativo è dato dal fatto che l’area si trova nel semipiano negativo delle ordinate, e il valore numerico è dato dalla somma delle due aree date nella traccia.

g(0)=-1

Calcoliamo ora il limite, sapendo che la funzione è continua, essendo derivabile nell’intervallo.

    \[\lim_{x \to 0} \frac{1+g(x)}{2x}=\frac{1-1}{0}=\frac 00\]

Essendo una forma indeterminata, usiamo de l’Hospital, ricordando che la derivata di g è proprio la funzione iniziale f, e quindi:

    \[\lim_{x \to 0} \frac{1+g(x)}{2x}=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{2}=0\]

sapendo dal grafico che f(0)=0

 

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